bzoj 3142: [Hnoi2013]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

HINT 

Source

我真的是弱到家了，根本想错了方向。。。

首先假设没有初值的限制，那么一个初值的方案数为m^(k-1)。。。

但是因为有n的限制所以初值不能任选，我们设移动的差分数组为a;

那么对于每种不同的差分数组有n-∑a[i]种方案，因为[1,n-∑a[i]]都可以作为初值。。。

那么我们枚举这一个差分数组，然后计算答案，那么答案是：

∑∑∑∑...(n-a[1]-a[2]-...a[k-1]);

每个∑有m个值，有k-1个∑，所以差分数组的总数为m^(k-1),把n提出来，则有n*m^(k-1)。。。

那么后面要减去∑∑∑∑...(a[1]+a[2]+...a[k-1]);

有m^(k-1)个不同的差分数组，每个差分数组有k-1个数，那么总共有(k-1)*m^(k-1)个数，然后[1,m]每个数出现的次数相同，

那么[1,m]的每个数都会出现m^(k-1)/m=m^(k-2)次，然后sum[1,m]=(1+m)*m/2，那么后面的一堆∑的值为：

(1+m)*m/2*(k-1)*m^(k-2)。。。

真的是头猪啊，智障。。。

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
ll n,k,m,Mod;
ll qpow(ll x,ll y){ll ret=1;x%=Mod,y%=Mod;while(y){if(y&1) (ret*=x)%=Mod;(x*=x)%=Mod,y>>=1;}return ret;}
ll Mul(ll x,ll y){ll ret=0;x%=Mod,y%=Mod;while(y){if(y&1) (ret+=x)%=Mod;(x+=x)%=Mod;y>>=1;}return ret;}
int main(){
  freopen("seq.in","r",stdin);
  freopen("seq.out","w",stdout);
  scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&Mod);
  ll ans=Mul(n%Mod,qpow(m,k-1)%Mod)-Mul(Mul((1+m)*m/2%Mod,qpow(m,k-2)),k-1);
  while(ans<0) ans+=Mod;printf("%lld
",ans);
  return 0;
}