洛谷P1002 过河卒 题解 动态规划

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题目大意

棋盘上(A)点有一个过河卒，需要走到目标(B)点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上CC点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，(A)点((0, 0))、(B)点((n, m))((n), (m)为不超过(20)的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从(A)点能够到达(B)点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个数据，分别表示(B)点坐标和马的坐标。

输出格式

一个数据，表示所有的路径条数。

样例输入1

6 6 3 3

样例输出1

6

题解

首先，不难看出，这是一道 动态规划 问题。
我们可以令 (f[i][j]) 表示从 ((0,0))（左上方的点）走到 ((i,j)) （第(i)行第(j)列）的方案数。
那么，在不考虑马的存在的时候，可以得到状态转移方程如下：

• 如果 (i=0) 且 (j=0) ，则 (f[i][j] = 1)；
• 否则，如果 (i=0) ，则 (f[i][j] = f[i][j-1])；
• 否则，如果 (j=0) ，则 (f[i][j] = f[i-1][j])；
• 否则，(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1])。

但是，这里有马的存在，左移在上述条件的基础上，我们必须先进行一步判断（并且这一步判断还是必须放在最前面的）：

• 如果 ((i,j)) 处于马的公鸡范围内，则 (f[i][j] = 0)。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, x, y;
long long f[22][22];
int main() {
    cin >> n >> m >> x >> y;
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            if (abs(x-i)==2 && abs(y-j)==1 || abs(x-i)==1 && abs(y-j)==2 || x==i && y==j) f[i][j] = 0;
            else if (i==0 && j==0) f[i][j] = 1;
            else if (i==0) f[i][j] = f[i][j-1];
            else if (j==0) f[i][j] = f[i-1][j];
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}