CF1105C Ayoub and Lost Array 题解 动态规划

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1105/C

题目描述

聪聪有一个长度为 (n) 的整数数组 (a) ，并且这个数组具有如下属性：

1. 数组中每个元素的大小都在 (l) 和 (r) 之间（包含 (l) 和 (r) ）；
2. 数组中所有元素之和能被 (3) 整除。

但是聪聪不小心把这个数组中的元素全部消除掉了。
聪聪现在只记住了 (n) 、(l) 和 (r) ，现在聪聪想知道满足条件的数组有多少个。
因为答案可能很大，所以你只需要输出答案除以 (1000000007) 的余数就可以了。

输入格式

输入的第一行 (n), (l) 和 (r)（ (1 le n le 2 imes 10^5, 1 le l le r le 10^9) ），分别表示数组的大小和数组元素的范围。

输出格式

输出答案除以 (10^9+7) 的余数。

样例输入1

2 1 3

样例输出1

3

样例输入2

3 2 2

样例输出2

1

样例输入3

9 9 99

样例输出3

711426616

样例解释

对于样例1，可能组成的数组有：([1,2],[2,1],[3,3]) ；
对于样例2，可能组成的数组有：([2,2,2]) 。

题目分析

本题涉及知识点：动态规划。
我们需要开一个数组 (f[n][3]) 。
其中 (f[i][j]) 表示 从 (a[1]) 到 (a[i]) 之和除以 (3) 余 (j) 的所有方案数。

具体分析

我们假设区间 ([l,r]) 范围内：

• 除以 (3) 的余数为 (0) 的数的个数是 (Delta_0)；
• 除以 (3) 的余数为 (1) 的数的个数是 (Delta_1)；
• 除以 (3) 的余数为 (2) 的数的个数是 (Delta_2)。

则：

• (f[1][0] = Delta_0)；
• (f[1][1] = Delta_1)；
• (f[1][2] = Delta_2)。

并且，对于任意一个 (i gt 1)，有：

• (f[i][0] = f[i-1][0] imes Delta_0 + f[i-1][1] imes Delta_2 + f[i-1][2] imes Delta_1)
• (f[i][1] = f[i-1][0] imes Delta_1 + f[i-1][1] imes Delta_0 + f[i-1][2] imes Delta_2)
• (f[i][2] = f[i-1][0] imes Delta_2 + f[i-1][1] imes Delta_1 + f[i-1][2] imes Delta_0)

上面的状态转移方程在具体实现时可以写地简化一些（详见下面的代码）。最终输出 (f[n][0]) 就是答案。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MOD 1000000007LL
const int maxn = 200020;
int n, l, r;
long long f[maxn][3];

int main() {
    cin >> n >> l >> r;
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j < 3; j ++) {
            long long num = (r+j)/3 - (l-1+j)/3;
            for (int k = 0; k < 3; k ++) {
                f[i][(k+j)%3] = (f[i][(k+j)%3] + f[i-1][k]*num) % MOD;
            }
        }
    }
    cout << f[n][0] << endl;
    return 0;
}