题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3216
题目大意：定义函数 (f(n)) 为将 (1 sim n) 连起来得到的数，求 (f(n) ext{ mod } m) 的结果。
解题思路：
状态转移方程为：
[f_i = 10^{ lfloor log_{10} i
floor } imes f_{i-1} + i
]
转移矩阵为：
[egin{bmatrix}
f_n \
n \
1
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
10^k & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1
end{bmatrix}
imes
egin{bmatrix}
f_{n-1} \
n-1 \
1
end{bmatrix}
]
其中的 (k) 表示 (lfloor log_{10} i floor + 1)（即 (n) 所占的位数）。但是 (k) 是变化的，没有办法直接矩阵乘法。但是可以发现：
- 当 (n in [1, 9]) 时，(k = 1)；
- 当 (n in [10, 99]) 时，(k = 2)；
- 当 (n in [100, 999]) 时，(k=3)；
- …… ……
- 当 (n = 10^{18}) 时，(k=19)。
所以 (k) 总共有 (19) 种不同的情况，我们只需要针对不同的 (k) 做矩阵快速幂就可以了。
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, m;
struct Matrix {
long long a[3][3];
Matrix operator * (Matrix b) const {
Matrix c;
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for (int i = 0; i < 3; i ++)
for (int j = 0; j < 3; j ++)
for (int k = 0; k < 3; k ++)
c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j] % m) % m;
return c;
}
Matrix operator ^ (long long n) const {
Matrix b, c;
memcpy(b.a, a, sizeof(a));
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for (int i = 0; i < 3; i ++) c.a[i][i] = 1;
while (n) {
if (n % 2) c = c * b;
b = b * b;
n /= 2;
}
return c;
}
} ans, tmp;
long long x[20];
int main() {
cin >> n >> m;
long long t1 = 1, t2 = 9;
for (int i = 0; i < 18; i ++) {
x[i] = min(t2, n) - t1 + 1;
if (n < t2) break;
t1 *= 10, t2 = t2 * 10 + 9;
}
if (n == 1000000000000000000LL) x[18] = 1;
memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));
for (int i = 0; i < 3; i ++) ans.a[i][i] = 1;
for (int i = 18; i >= 0; i --) {
if (!x[i]) continue;
memset(tmp.a, 0, sizeof(tmp.a));
tmp.a[0][0] = 1;
for (int j = 0; j <= i; j ++) tmp.a[0][0] = tmp.a[0][0] * 10 % m;
tmp.a[0][1] = tmp.a[0][2] = tmp.a[1][1] = tmp.a[1][2] = tmp.a[2][2] = 1;
ans = ans * (tmp ^ x[i]);
}
cout << ans.a[0][2] << endl;
return 0;
}