卡方分布

1.1      定义

设 X₁,X₂,......X_n相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量χ²=X₁²+X₂²+......+X_n²所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布.^[1] 

卡方分布的 期望E（χ²）=n，方差D(χ²)=2n。

 卡方分布：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为 分布（chi-squaredistribution）。其中参数n称为自由度（通俗讲，样本中独立或能自由变化的自变量的个数，称为自由度），正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为 分布的均值为自由度 n，记为 E() = n；分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 D() = 2n。

 

从分布图可以看出：分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增大，分布趋近于正态分布；随着自由度n的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。