感知机学习算法

1.感知机

感知机是二类分类线性分类模型，输出的值为{+1， -1}两种类型；感知机是利用超平面将两类分离的算法。

假设输入空间（特征空间）是X∈Rn，输出空间是Y={+1, -1}。输入x∈X表示实例特征向量。对应于输出空间（特征空间）的点：输出y∈Y表示实例类别，由输入空间到输出空间的如下函数：

f(x) = sign(w*x+b)

线性方程：

w*x+b=0

对应于特征空间Rn 中的一个超平面S，其中w是超平面的法向量，b是超平面的截距。

2.感知机学习策略

单个点x0到超平面S的距离是：

对于误分类来说，-yi(w*xi+b)>0。因此误分类点到超平面S的距离

假设超平面S误分类点集合为M，则总距离：

因此，感知机sign(wx+b)的损失函数可以简写为：

3.感知机原始形式

假设M集合是固定，那么损失函数的梯度为：

随机一个选取一个误分类点（xi, yi）对w和b进行更新。

 # coding:utf-8
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def dataN(length):#生成数据
    x=[[1,x/100.0,x/100.0+ (x%2)*1.5 + np.random.uniform(0,1.2)] for x in range(length)]
    y=[(-1)**(y%2-1) for y in range(length)]
    x=np.mat(x)
    return x,y

def percepT(x,y, iter):#感知机原始形式
    n =np.shape(x)[1]
    m=len(x)
    theta=np.ones(n)
    alpha=0.02
    for it in range(iter):
       l=0
       print it  #0 1 2 3 4 5 6 7
       for k in range(m):
           if (x[k].dot(theta.T))*y[k]<0:
               l=1
               theta=np.add(theta,alpha*y[k]*x[k])
       if l==0:
            break
    return theta

def showP(x,y,theta):#作图
    plt.figure(1)
    color=['','or','ob']
    for i in xrange(length):
        plt.plot(x[i, 1], x[i, 2],color[int(y[i])])
    theta=theta.getA()
    plt.plot([0,length/100],[-theta[0][0],-theta[0][0]-theta[0][1]*length/100]/theta[0][2])
    plt.show()
    
length=200
iter=200
x,y=dataN(length)
theta=percepT(x,y,iter)
print theta   #[[-0.38       -0.2464      0.25287193]]
showP(x,y,theta)

4.感知机对偶形式

对偶形似的基本想法是：将w和b表示实例xi和标记yi的线性组合形式，通过求解器系数的到w和b。在原始形式中，通过

逐步修改w和b，假设修改了n次，则w和b关于（xi， yi）的增量分别是aixiyi和aiyi，这里的ai=niη。最后学习到的w和b是：

 # coding:utf-8
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def dataN(length):#生成数据
    x=[[x/100.0,x/100.0+ (x%2)*1.5 + np.random.uniform(0,1.2)] for x in range(length)]
    y=[(-1)**(y%2-1) for y in range(length)]
    x=np.mat(x)
    return x,y

def percepTG(x,y, iter):#感知机对偶形式
    m=len(x)
    theta=np.zeros(m)
    b=0
    alpha=0.1
    for it in range(iter):
       l=0
       print it  #0 1 2
       for k in range(m):
           if y[k]*(np.sum([theta[j]*y[j]*x[j]*x[k].T for j in range(m)])+b)<=0:
               l=1
               theta[k]+=alpha
               b+=alpha*y[k]
       if l==0:
            break
    return theta,b

def showP(x,y,theta,b):#作图
    plt.figure(1)
    color=['','or','ob']
    for i in xrange(len(x)):
        plt.plot(x[i, 0], x[i, 1],color[int(y[i])])
    c= np.zeros(2)
    for j in range(len(x)):
        c=np.add(c,theta[j]*y[j]*x[j])
    c=c.getA()
    print c,b  #[[-0.351     0.402276]] -0.6
    plt.plot([0,length/100],[-b,-b-c[0][0]*length/100]/c[0][1])
    plt.show()

length=200
iter=5
x,y=dataN(length)
theta,b=percepTG(x,y,iter)
showP(x,y,theta,b)