hdu--2576--高中数学..

这题 绝逼是以前高中学到数列的时候做的难题...

就是忘记了 我一开始就直接开了个数组做 导致了mle 然后就觉得应该是去找数学公式了

这题的 数学推导过程很复杂的...  我直接写纸上了

设Tn = 1 + (1+2) + (1+2+3) + .....(1+2+3+...n)

所以

发现 效果很差啊...<不会拍照>

我还是直接手写吧...

接下去的重点就是 化简 1^2+2^2+3^2+....n^2

其实它就是等于 (1+2+3+....n)+(2+3+...n)+(3+....n)+....n  不难理解 就是将上面的平方全部拆开来 x^2 x为几 就会出现几次

然后这就可以运用 等差数列求和

化简为：[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+....(n+n)(n-(n-1))]/2这边 不要直接写成(2n)*1 这样对下面的分解有很大影响

我在下面的式子都省略了/2因为写起来太不方便了 就在最后化简的时候出现 这边注明下

然后 我们把它给乘开来 即

(n^2+n-0)+(n^2+n-2)+(n^2+n-6)+....(n^2+n-(n-1)*n)--一共有n项

然后 仔细观察 会发现 0 = 0*1   2 = 1*2   6 = 2*3    12 = 3*4 ..... 最后一项：(n-1)*n

然后这n项中都有n^2和n 所以可以化简求得

x = n^3 + n^2 -(2+6+12+...+(n-1)*n)   至于后面的话 就可以化简为上2行提过的 我们先将它从式子中拿出来

z = 2+6+....+(n-1)*n= 1*2+2*3+....(n-1)*n=1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)+....(n-1)*(n-1+1) = 1^2+2^2+3^2+...(n-1)^2+(1+2+3+...n-1)

至于z中的1^2+2^2+3^2+...(n-1)^2就是Sn-1  因为我们将Sn看成1^2+2^2+3^2+...n^2

所以可以将x这个式子化简为 n^3+n^2-Sn-1-n(n-1)/2=Sn*2

即3Sn=n^3+n^2-n(n-1)/2这里还可以就是简单的化简下 我这边不写了

最终可以得到Sn=1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

然后在将Sn+n(n+1)/2

最终得到了Tn = 1*2+2*3+3*4+(n-1)*n = n(n+1)(n+2)/3

因为这题的话 本来就预先/2所以最终 ans[n] = n(n+1)(n+2)/6

因为mod = 20090524; mod^2是在long long范围内 mod^3就超出了long lnog 的范围

所以 需要将它分布来乘

同时n(n+1)肯定能整除2  (n+1)(n+2)当然也满足肯定能整除2 习惯上 我们还是选择第一个

然后 要注意的是n(n+1)/2%(mod*3)这边要mod*3因为要保证得到的ans可以整除3 因为我们已经是先确定了n(n+1)(n+2)可以整除6

为什么*3就可以保证了呢？

x%(mod*y)=ans  那么ans = k*y  这样就解释了ans为什么可以整除y

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = 20090524;

int main()
{
    int t;
    LL n , ans;
    cin >> t;
    while( t-- )
    {
        cin >> n;
        ans = n*(n+1)/2%(mod*3);
        ans = ans*(n+2)/3%mod;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}