hdu--4549--费马小定理&快速幂&欧拉函数

这题 蛮复杂的.

我自己做的时候 无法处理完 最后一步公式的转换 后来看到别人说这是 费马小定理 与 欧拉函数的思想下的转换

可是 我自己还推导不出来啊...

首先 你要发现f[n]=a^x * b^y其实指数x 与 y是fib数列中的f[n-1]与f[n]项( n>=1 并且数列是0 1 1 2 3 5 8 ...)

那么 其实题目就转换成了 f[n] = a^fib[n-1] * b^fib[n] % mod;

这边 不必要对于 a^fib[n-1]与 b^fib[n] 单独再在括号进行取模运算 因为Mod = 1000000007 太大了 即使单独取模 还是会存在溢出的可能 因为只要(mod-1)%mod = mod-1那么这 (mod-1)^2肯定溢出int了  所以 就直接用Long long就是了

然后我就是不会对于fib[n-1]进行化简取模了  因为不对它取模 肯定是溢出的 可是我想不明白 具体的MOD 应该取多少呢？

就去看了别人的解释 说是 费马小定理与欧拉函数的联系吧

当p是素数的时候 满足

a^(p) ≡ a（mod p）

当p是素数的时候 并且gcd(a,p) == 1的时候  满足

a^(p-1) ≡1（mod p）

还有一个就是 a^{( euler(p) )} ≡1（mod p）

当p是素数的时候 那么euler(p) 自然就是p-1了

然后 将2者联系起来 就可以化简为     a^fib(n-1) = a^( fib(n-1)%(mod-1)  ) % (mod)

但是 这2者怎么联系 转换 我没求导出来 太渣了 烦.

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = 1000000007;
struct matrix
{
    LL m[2][2];
}base,ans;

matrix multi( matrix& p , matrix& q , int col )
{
    matrix temp;
    for( int i = 0 ; i<2 ; ++i )
    {
        for( int j = 0 ; j<col ; ++j )
        {
            temp.m[i][j] = 0;
            for( int k = 0 ; k<2 ; ++k )
            {
                temp.m[i][j] = ( temp.m[i][j] + p.m[i][k] * q.m[k][j] )%(mod-1);
            }
        }
    }
    return temp;
}

void fastMod( LL n )
{
    while( n )
    {
        if( n&1 )
        {
            ans = multi( base , ans , 1 );
        }
        base = multi( base , base , 2 );
        n >>= 1;
    }
}

LL solve( LL x , LL n )
{
    LL ans = 1;
    while( n )
    {
        if( n&1 )
        {
            ans = x * ans % mod;
        }
        n >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    LL a , b , n , var;
    while( cin >> a >> b >> n )
    {
        ans.m[0][0] = 1;
        ans.m[1][0] = 1;
        base.m[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;
        base.m[1][1] = 0;
        if( !n )
            cout << a << endl;
        else if( n==1 )
            cout << b << endl;
        else if( n==2 )
            cout << (a*b%mod) << endl;
        else
        {
            fastMod( n-2 );
            a = solve( a , ans.m[1][0] );
            b = solve( b , ans.m[0][0] );
            var = a * b % mod;s
            cout << var << endl;
        }
    }
    return 0;
}