BZOJ 4407 于神之怒加强版

题面:

4407: 于神之怒加强版

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Description

给下N,M,K.求

Input

输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数T,K，代表有T组数据，K的意义如上所示，下面第二行到第T+1行，每行为两个正整数N,M，其意义如上式所示。

Output

如题

Sample Input

1 2
3 3

Sample Output

HINT

1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

题解：JudgeOnline/upload/201603/4407.rar

　　$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^{k}$

$=sum_{d=1}^{min(n,m)}d^{k}sum_{T=1}^{min(n,m)}mu(frac{T}{d})lfloorfrac{n}{T} floorlfloorfrac{n}{T} floor$

$=sum_{T=1}^{min(n,m)}lfloorfrac{n}{T} floorlfloorfrac{m}{T} floorsum_{d|T}{mu(frac{T}{d})d^{k}}$

令$f[T]=sum_{d|T}{mu(frac{T}{d})d^k}$，之后线性筛求出$f[T]$前缀和，每个询问分块处理。

时间复杂度$O(N+Tsqrt{n})$。

 1 #pragma GCC optimize("O3")
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int mod=1e9+7;
 6 const int maxn=5000000;
 7 int prime[670000],g[maxn+1],f[maxn+1];
 8 bool book[maxn+1];
 9 int n,m,k,T,cnt;
10 int qpow(int x,int y)
11 {
12     int ans=1;
13     while(y)
14     {
15         if(y&1)
16             ans=1LL*ans*x%mod;
17         x=1LL*x*x%mod;
18         y>>=1;
19     }
20     return ans;
21 }
22 void init()
23 {
24     g[1]=1;
25     for(int i=2;i<=maxn;i++)
26     { 
27         if(!book[i])
28         {
29             prime[++cnt]=i;
30             f[i]=qpow(i,k);
31             g[i]=f[i]-1;        
32         }
33         for(int j=1;j<=cnt&&1LL*i*prime[j]<=maxn;j++)
34         {
35             book[i*prime[j]]=true;
36             if(i%prime[j]!=0)
37                 g[i*prime[j]]=1LL*g[i]*g[prime[j]]%mod;
38             else
39                 g[i*prime[j]]=1LL*g[i]*f[prime[j]]%mod;
40         }
41     }
42     for(int i=2;i<=maxn;i++)
43         g[i]=(g[i-1]+g[i])%mod;
44      
45 }
46 int query(int x,int y)
47 {
48     int i,last;
49     int ans=0;
50     if(n>m)
51         n^=m^=n^=m;
52     for(i=1;i<=n;i=last+1)
53     {
54         last=min(n/(n/i),m/(m/i));
55         ans=(ans+1LL*(n/i)*(m/i)%mod*(g[last]-g[i-1]+mod)%mod)%mod;
56     }
57     return ans;
58 }
59 int main()
60 {
61     scanf("%d%d",&T,&k);
62     init();
63     while(T--)
64     {
65         scanf("%d%d",&n,&m);
66         printf("%d
",query(n,m));
67     }
68 }

BZOJ 4407

(PS:可以手动开$O_{2}O_{3}$(卡常数利器),可以快上几百ms)