洛谷 P2701 [USACO5.3]巨大的牛棚Big Barn Label:二维数组前缀和 你够了 这次我用DP

题目背景

（USACO 5.3.4）

题目描述

农夫约翰想要在他的正方形农场上建造一座正方形大牛棚。他讨厌在他的农场中砍树，想找一个能够让他在空旷无树的地方修建牛棚的地方。我们假定，他的农场划分成 N x N 的方格。输入数据中包括有树的方格的列表。你的任务是计算并输出，在他的农场中，不需要砍树却能够修建的最大正方形牛棚。牛棚的边必须和水平轴或者垂直轴平行。

EXAMPLE

考虑下面的方格，它表示农夫约翰的农场，‘.'表示没有树的方格，‘#'表示有树的方格

1 2 3 4 5 6 7 8

1 . . . . . . . .

2 . # . . . # . .

3 . . . . . . . .

4 . . . . . . . .

5 . . . . . . . .

6 . . # . . . . .

7 . . . . . . . .

8 . . . . . . . .

最大的牛棚是 5 x 5 的，可以建造在方格右下角的两个位置其中一个。

输入输出格式

输入格式：

Line 1: 两个整数： N （1 <= N <= 1000），农场的大小，和 T （1 <= T <= 10，000）有树的方格的数量

Lines 2..T+1: 两个整数（1 <= 整数 <= N), 有树格子的横纵坐标

输出格式：

只由一行组成，约翰的牛棚的最大边长。

输入输出样例

输入样例#1：

8 3
2 2
2 6
6 3

输出样例#1：

5

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 5.3

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int a[1010][1010],N,M;
int f[1010][1010],ans;

int main(){
//    freopen("01.in","r",stdin);//freopen("01.out","w",stdout);
    
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);a[x][y]=1;}
    
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=N;j++){
            if(a[i][j]) continue;
            else f[i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1])+1;
            ans=max(f[i][j],ans);
        }
    }
    
    printf("%d
",ans);
    
    fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

我就给个思路，两种解法：
1. DP，用f[i,j]表示以当前格子为右→下角能构成的最大的正方形大小，方程f[i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1])+1;代码如上，此处不再赘述；
2. 二维数组前缀和，可能会超时，可以参见 洛谷P2733 ,跟这道题的区别就是没有区别 ，核心代码如下，如有不理解可参见博客：

for(int i=1;i<=N;i++){//二维数组前缀和
　　for(int j=1;j<=N;j++) sum[i][j]=sum[i][j-1]+int(a[i][j]-'0');
　　for(int j=1;j<=N;j++) sum[i][j]+=sum[i-1][j];
}

for(int k=2;k<=N;k++)//对边长进行枚举
　　for(int i=1;i+k-1<=N;i++)
　　　　for(int j=1;j+k-1<=N;j++)
　　　　　　if(cal(i,j,i+k-1,j+k-1)==k*k)
　　　　　　　　ans=k;

以下是两道运用前缀和的题目
[洛谷 P1736 创意吃鱼法](http://www.cnblogs.com/radiumlrb/p/5808527.html)
[洛谷 P1387 最大正方形 ](http://www.cnblogs.com/radiumlrb/p/5808285.html)