「SRM786」题解

昨天打完牛客挑战赛意识模糊忘记 register 了...一看题目发现血亏。

250pts

我们将下标按照 (mod k) 分组 发现每个组之间的交换互不影响。每次交换相当于至少要减少一对顺序对。我们肯定是想每次只减少一个顺序对（这样这一组的答案就是顺序对个数了）。发现我们每次交换相邻两个顺序对就满足条件。所以答案就是每组的顺序对个数加起来。

一开始 zz 了想错了 但是感觉 10 min是能做完的？

#include<bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define U unsigned
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXM = 233;

struct BIT{
    #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
    int tree[MAXM];

    inline void add(int pos,int x){
        while(pos < MAXM){
            tree[pos] += x;
            pos += lowbit(pos);
        }
    }

    inline int query(int pos){
        int res = 0;
        while(pos){
            res += tree[pos];
            pos -= lowbit(pos);
        }
        return res;
    }
}bit;

class SwapTheString {
    int A[MAXN];
    int f[MAXN][26];
    std::string str;
    public:
    long long findNumberOfSwaps(std::string P, int A0, int X, int Y, int N, int K) {
        A[0] = A0;
        FOR(i,1,N-1) A[i] = (1ll*A[i-1]*X+Y)%1812447359;
        str = P;str.resize(N);
        FOR(i,P.length(),N-1) str[i] = (char)(A[i]%26+'a');
        if(K >= N) return 0;
        LL ans = 0;
        FOR(i,0,K-1){
            CLR(bit.tree,0);
            for(int t=0,j = i;j < N;j += K,++t){
                ans += bit.query(str[j]-1);
                bit.add(str[j],1);
            }
        }
        return ans;
    }
};

500pts

这种题目 数字种类数不多 可以用期望线性性拆成计算每个数字对答案的贡献的期望

设 (f[i][j]) 表示经过了 (i) 轮 数组 (j) 的期望出现次数。第二维是在 (mod 512) 意义下定义的。

显然有转移 (f[i][j] = frac{n-1}{n}f[i-1][j]+frac{1}{n}f[i-1][j-1])

就是有 (frac{f[i][j-1]}{n}) 的概率让出现次数 (+1)，有(frac{f[i-1][j]}{n}) 的概率让出现次数 (-1)。直接做的时间复杂度是 (O(512*K)) 看起来就不太行。

于是我们考虑使用矩阵快速幂 可以做到 (O(512^3 log K)) 然而还是过不去。

继续观察：发现转移矩阵是一个循环矩阵 矩阵乘法改成暴力循环卷积/FFT优化到 (O(512^2log K)/ O(512log512log K))。

如果这个题是输出小数的话或许可以代入单位根插值（个人感觉精度会丢的很厉害）

这个题被搞了 原因是我不知道 class 里的变量初始化在 Linux 下是随机值（也不知道 Mac 到底是随 Win 还是随 Linux）。否则估计花 20min 就可以。（归根结底还是自己菜）

#include<bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define U unsigned
//#define P stdd::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl
// f[i][j] i 时刻 期望多少个=j 的数字
// f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-1]/n - f[i-1][j]/n
const int ha = 1000000007;

inline int qpow(int a,int n=ha-2){
	int res = 1;
	while(n){
		if(n & 1) res = 1ll*res*a%ha;
		a = 1ll*a*a%ha;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
int A[2000005];
int a[512],b[512],res[512],t[512];
class ModCounters {
    std::vector<int> S;
    inline void mul(int c[],int a[],int b[]){
        FOR(i,0,511){
            FOR(j,0,511){
                (c[(i+j)%512] += 1ll*a[i]*b[j]%ha)%=ha;
            }
        }
    }

    public:
    int findExpectedSum(std::vector<int> P, int A0, int X, int Y, int N, int K) {
        A[0] = A0;FOR(i,1,N-1) A[i] = (1ll*A[i-1]*X%1812447359+Y)%1812447359;
        S = P;S.resize(N);FOR(i,P.size(),N-1) S[i] = A[i]%512;
        FOR(i,0,N-1) b[S[i]]++;
        a[0] = 1ll*(N-1)*qpow(N)%ha;a[511] = qpow(N);res[0] = 1;
        while(K){
            if(K & 1){
                mul(t,res,a);
                FOR(i,0,511) res[i] = t[i],t[i] = 0;
            }
            mul(t,a,a);FOR(i,0,511) a[i] = t[i],t[i] = 0;
            K >>= 1;
        }
        LL ans = 0;
        FOR(i,0,511){
            LL t = 0;
            FOR(k,0,511){
                (t += 1ll*res[(k-i+512)%512]*b[k]%ha)%=ha;
            }
            (ans += 1ll*t*i%ha)%=ha;
        }
        return ans;
    }
};

1000pts

首先可以用两个 ( ext{multiset}) 支持插入删除询问绝对值最小值。一个维护值 一个维护值域上相邻的两个数的差即可。

暴力是对于每个点 插入它的孙子，爷爷和兄弟。一个菊花图就没了。

我们针对菊花图考虑去枚举父亲 (p) 每次先把所有儿子和自己的父亲插入。然后对于每一个儿子 (v) 先把 (v) 删除 再插入 (v) 的所有孙子 然后撤销这两步操作。

发现每个点只会被作为父亲 孙子 被插入（也就是只被插入两次） 总复杂度 (O(nlog n))

#include<bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define U unsigned
#define P std::pair<int,int>
#define LL long long
#define pb push_back
#define MP std::make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define DEBUG(x) std::cerr << #x << '=' << x << std::endl

const int MAXN = 2e5 + 5;

class TwoDistance {
    struct Data_Structure{
        std::multiset<int> S1,S2;
        inline void clear(){
            S1.clear();S2.clear();
        }
    
        inline void insert(int x){
            auto p = S1.insert(x);
            auto pre = p,suf = p;--pre;++suf;
            if(p != S1.begin()) S2.insert(x-*pre);
            if(suf != S1.end()) S2.insert(*suf-x);
            if(p != S1.begin() && suf != S1.end()) S2.erase(S2.find(*suf-*pre));
        }

        inline void del(int x){
            auto p = S1.find(x);
            auto pre = p,suf = p;--pre;++suf;
            if(p != S1.begin()) S2.erase(S2.find(x-*pre));
            if(suf != S1.end()) S2.erase(S2.find(*suf-x));
            if(p != S1.begin() && suf != S1.end()) S2.insert(*suf-*pre);
            S1.erase(p);
        }
    
        inline int query(){
            if(S2.empty()) return 0;
            return *S2.begin();
        }
    }DS;

    struct Edge{
        int to,nxt;
    }e[MAXN<<1];
    int head[MAXN],cnt;

    inline void add(int u,int v){
        e[++cnt] = (Edge){v,head[u]};head[u] = cnt;
        e[++cnt] = (Edge){u,head[v]};head[v] = cnt;
    }

    int A[MAXN<<1];LL ans;
    std::vector<int> V,E;
    int f[MAXN];
    std::vector<int> son[MAXN],sson[MAXN];

    inline void pdfs(int v,int fa=0){
        f[v] = fa;
        for(int i = head[v];i;i = e[i].nxt){
            if(e[i].to == fa) continue;
            pdfs(e[i].to,v);
        }
    }

    inline void dfs(int v,int fa=0){
        DS.clear();
        if(fa) DS.insert(V[fa-1]);
        for(auto x:son[v]) DS.insert(V[x-1]);
        for(int i = head[v];i;i = e[i].nxt){
            if(e[i].to == fa) continue;
            DS.del(V[e[i].to-1]);
            for(auto x:sson[e[i].to]) DS.insert(V[x-1]);
            ans += DS.query();
            DS.insert(V[e[i].to-1]);
            for(auto x:sson[e[i].to]) DS.del(V[x-1]);
        }
        for(int i = head[v];i;i = e[i].nxt){
            if(e[i].to == fa) continue;
            dfs(e[i].to,v);
        }
    }

    public:
    long long findMinValue(int N, std::vector<int> edge, std::vector<int> val, int D, int seed) {
        cnt = 0;FOR(i,1,N) head[i] = 0;cnt = 0;
        A[0] = seed;FOR(i,1,2*N-1)  A[i] = (LL)(A[i-1] * 1103515245ll + 12345) % 2147483648;
        V = val;V.resize(N);FOR(i,val.size(),N-1) V[i] = A[i];
        E = edge;E.resize(N);FOR(i,edge.size(),N-1) E[i] = A[N+i]%std::min(i,D);
        FOR(i,1,N-1) add(i+1,E[i]+1);ans = 0;
        pdfs(1);
        FOR(i,1,N){
            if(f[i]) son[f[i]].pb(i);
            if(f[f[i]]) sson[f[f[i]]].pb(i);
        }
        dfs(1);DS.clear();
        for(auto x:sson[1]) DS.insert(V[x-1]);
        ans += DS.query();
        return ans;
    }
};