(mathcal{Description})
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给定一个 (n) 个点 (m) 条边的带权有向图，每条边还有属性 (sin{-1,0,1})。对于每个 (uin[1,n])，求有多少个 (xinmathbb Z)，使得图上所有属性为 (-1) 的边权 (-x)，为 (0) 的不变，为 (1) 的 (+x) 后，从 (1) 走到 (u) 的任意路径不经过负环。若存在无穷个 (x)，输出 (-1)。
(nle100)，(mle10^4)。
(mathcal{Solution})
可以发现，对于任意初始权和为 (b) 的简单环，设其上 (sum_us_u=k)，则简单环的最终权值为 (kx+b)，是一个一次函数，我们需要保证它非负。
难免涉及到找负环，首先排除 SPFA，我们可以利用 Bellman-Ford 找负环：令 (f(i,u)) 表示从起点走 (i) 步到达 (u) 的最短路，若 (f(n-1,u)le f(n,u))，则 (u) 和 (u) 可达的点都受负环影响。
扩展到本题，我们需要记录 (k)，那么令 (f(i,u,k)) 表示从起点走 (i) 步到达 (u)，经过边的属性和为 (k) 的最短路，这个表可以暴力 (mathcal O(n^3m)) 刷出来。对于一个确定的 (x)，若 (u) 被负环影响，联系上面二维情况下的式子，就有：
[min_j{f(n-1,u,j)+jx}lemin_k{f(n,u,k)+kx}
]
枚举 (j,k)，若 (j<k)，可以得到一个 (x) 的限制：
[xgefrac{f(n-1,u,j)-f(n,u,k)}{k-j}
]
其余情况类似。这样对于每个结点，我们可以求出关于其的若干限制区间 ((l,r))，表示合法的 (x otin(l,r))。求答案时，枚举每个点 (u) 和其可达的点 (v)，求 (v) 上限制的交集即可。
(mathcal{Code})
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
typedef std::pair<LL, LL> pll;
inline char fgc () {
static char buf[1 << 17], *p = buf, *q = buf;
return p == q && ( q = buf + fread ( p = buf, 1, 1 << 17, stdin ), p == q ) ? EOF : *p ++;
}
inline int rint () {
int x = 0, f = 1; char s = fgc ();
for ( ; s < '0' || '9' < s; s = fgc () ) f = s == '-' ? -f : f;
for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = fgc () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
return x * f;
}
inline void wint ( LL x ) {
if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = -x;
if ( 9 < x ) wint ( x / 10 );
putchar ( x % 10 ^ '0' );
}
const int MAXN = 100, MAXM = 1e4;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m;
LL pool[MAXN + 5][MAXN + 5][MAXN * 2 + 5];
bool rch[MAXN + 5][MAXN + 5];
std::vector<pll> restr[MAXN + 5], inter;
struct Edge {
int u, v, w, s;
} eset[MAXM + 5];
inline void chkmin ( LL& a, const LL b ) { if ( b < a ) a = b; }
inline void chkmax ( LL& a, const LL b ) { if ( a < b ) a = b; }
inline LL& f ( const int i, const int j, const int k ) { return pool[i][j][k + n + 2]; }
int main () {
// freopen ( "city.in", "r", stdin );
// freopen ( "city.out", "w", stdout );
n = rint (), m = rint ();
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) rch[i][i] = true;
for ( int i = 1, u, v, w, s; i <= m; ++ i ) {
u = rint (), v = rint (), w = rint (), s = rint ();
eset[i].u = u, eset[i].v = v, eset[i].w = w, eset[i].s = s;
rch[u][v] = true;
}
for ( int k = 1; k <= n; ++ k ) {
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
for ( int j = 1; j <= n; ++ j ) {
rch[i][j] |= rch[i][k] && rch[k][j];
}
}
}
for ( int j = 1; j <= n; ++ j ) {
for ( int k = -n; k <= n; ++ k ) {
f ( 0, j, k ) = INF;
}
}
f ( 0, 1, 0 ) = 0;
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
for ( int j = 1; j <= n; ++ j ) {
for ( int k = -n; k <= n; ++ k ) {
f ( i, j, k ) = f ( i - 1, j, k );
}
}
for ( int j = 1; j <= m; ++ j ) {
int u = eset[j].u, v = eset[j].v, w = eset[j].w, s = eset[j].s;
for ( int k = -n; k <= n; ++ k ) {
if ( f ( i - 1, u, k ) == INF ) continue;
chkmin ( f ( i, v, k + s ), f ( i - 1, u, k ) + w );
}
}
}
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
for ( int k = -n; k <= n; ++ k ) {
if ( f ( n, i, k ) >= f ( n - 1, i, k ) ) continue;
LL l = -INF, r = INF; // xin(-INF,l]+[r,INF).
for ( int j = -n; j <= n; ++ j ) {
if ( j == k || f ( n - 1, i, j ) == INF ) continue;
if ( j < k ) {
chkmin ( r, ceil ( 1.0 * ( f ( n - 1, i, j ) - f ( n, i, k ) ) / ( k - j ) ) );
} else {
chkmax ( l, floor ( 1.0 * ( f ( n - 1, i, j ) - f ( n, i, k ) ) / ( k - j ) ) );
}
}
if ( l < r ) restr[i].push_back ( pll ( l, r ) );
}
}
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
inter.clear ();
for ( int j = 1; j <= n; ++ j ) {
if ( rch[1][j] && rch[j][i] ) {
for ( int k = 0; k ^ restr[j].size (); ++ k ) {
inter.push_back ( restr[j][k] );
}
}
}
if ( inter.empty () ) { puts ( "-1" ); continue; }
std::sort ( inter.begin (), inter.end () );
LL l = INF, r = -INF, las = -INF; bool found = false;
for ( int j = 0; j ^ inter.size (); ++ j ) {
if ( !j && inter[j].first > -INF ) {
l = -INF, r = inter[j].first;
found = true; break;
}
if ( las != -INF && las <= inter[j].first ) {
l = las, r = inter[j].first;
found = true; break;
}
chkmax ( las, inter[j].second );
}
if ( !found && las < INF ) l = las, r = INF;
wint ( l == -INF || r == INF ? -1 : ( l <= r ? r - l + 1 : 0 ) );
putchar ( '
' );
}
return 0;
}
(mathcal{Details})
关于负环的做得太少，拿着就不知所措 qwq，而且考场上前面浪费太多时间根本没来得及向这题……