(mathcal{Description})
Link.
有 (n) 堆石子,第 (i) 堆有 (x_i) 个,Alice 每次只能从这堆中拿走 (a_i) 个石子,Bob 每次只能从这堆中拿走 (b_i) 个石子,不能操作者负。对于 (i=1,2,dots,n),求只考虑 ([1,i]) 的石子堆时,双方博弈的结果(有 Alice 必胜、Bob 必胜、先手必胜、后手必胜四种结果)。
(nle10^5)。
(mathcal{Solution})
我不会博弈啊……
在这种非对称博弈问题中,一般不去研究 SG 函数,而是考虑“Alice 能比 Bob 多操作多少次”一类的问题。我们来逐步分析本题:
结论:双方可以通过轮流操作同一堆石子,直至不存在这样石子堆,来达到最优策略。如果一方需要单独操作某一堆,另一方必然可以缠着(?)她,所以这个结论比较自然。
所以只用考虑 (r_i=x_imod (a_i+b_i)) 的取值
- (r_i<min{a_i,b_i}):双方无法操作,忽略;
- (min{a_i,b_i}<r_i<max{a_i,b_i}):只有一方能操作,计入“能多操作几次”的贡献;
- (max{a_i,b_i}le r_i):双方都能操作,但一方操作后另一方不能操作。
先将所有第三类的操作记给 Alice,那么 Bob 选择一个 (r_i) 会使得 Alice 与 Bob 的操作次数差减少 (lfloorfrac{a_i}{r_i} floor+lfloorfrac{b_i}{r_i} floor),可见双方都会从大到小选择这一值,线段树维护选择结果即可。复杂度 (mathcal O(nlog n))。
(mathcal{Code})
/*~Rainybunny~*/
#include <cstdio>
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
typedef long long LL;
const int MAXN = 1e5;
int n, x[MAXN + 5], a[MAXN + 5], b[MAXN + 5];
struct SegmentTree {
static const int MAXND = 4e6;
int node, ch[MAXND][2], cnt[MAXND];
LL sum[MAXND][2];
inline void pushup( const int u ) {
cnt[u] = cnt[ch[u][0]] + cnt[ch[u][1]];
sum[u][0] = sum[ch[u][1]][0] + sum[ch[u][0]][cnt[ch[u][1]] & 1];
sum[u][1] = sum[ch[u][1]][1] + sum[ch[u][0]][!( cnt[ch[u][1]] & 1 )];
}
inline void update( int& u, const int l, const int r, const int x ) {
if ( !u ) u = ++node;
if ( l == r ) {
++cnt[u];
sum[u][0] = ( cnt[u] + 1ll >> 1 ) * l;
sum[u][1] = 1ll * ( cnt[u] >> 1 ) * l;
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
if ( x <= mid ) update( ch[u][0], l, mid, x );
else update( ch[u][1], mid + 1, r, x );
pushup( u );
}
} sgt;
int main() {
freopen( "C.in", "r", stdin );
freopen( "C.out", "w", stdout );
scanf( "%d", &n );
rep ( i, 1, n ) scanf( "%d %d %d", &x[i], &a[i], &b[i] );
LL dif = 0; int rt = 0;
rep ( i, 1, n ) {
int r = x[i] % ( a[i] + b[i] );
if ( r >= a[i] && r >= b[i] ) {
dif += r / a[i], sgt.update( rt, 1, 2e9, r / a[i] + r / b[i] );
} else if ( r >= a[i] || r >= b[i] ) {
dif += ( r >= a[i] ? 1 : -1 ) * ( r / a[i] + r / b[i] );
}
bool aw = dif - sgt.sum[rt][1] > 0, bw = dif - sgt.sum[rt][0] < 0;
if ( !aw && !bw ) puts( "Second" );
else if ( !aw ) puts( "Bob" );
else if ( !bw ) puts( "Alice" );
else puts( "First" );
}
return 0;
}