(mathcal{Description})
Link.
把 (n) 种零食分给 (m) 个人,第 (i) 种零食有 (a_i) 个;第 (i) 个人得到同种零食数量不超过 (b_i),总数量不超过 (c_i),求最多分出的零食数量。
(n,mle2 imes10^5)。
(mathcal{Solution})
很容易看出这是网络流模型:
- 源点 (S) 连向每种零食 (i),容量 (a_i);
- 零食 (i) 连向人 (j),容量 (b_j);
- 人 (j) 连向汇点 (T),容量 (c_j)。
答案即为 (S) 到 (T) 的最大流。
在这样的网络中,我们发现容量的种类数少,而边数很多,可以推出边的容量与这条边具体连接两端结点的相关性不强。这种时候,可以尝试手算最小割。
具体地,设零食集合 (A) 被割入 (S) 部,那么对于一个人 (i),他被割入 (S) 部的代价为 (c_i),被割入 (T) 部的代价是 (|A|b_i),我们应取两者较小值,而这果然与 (A) 集合具体构成不相关。所以,枚举 (|A|in[0,n]),每个人一定在一段前缀中被割入 (T) 部,在其余情况被割入 (S) 部,利用单调性维护这一过程,做到复杂度 (mathcal O(nlog n+mlog m)),两个瓶颈皆为排序。
(mathcal{Code})
/*~Rainybunny~*/
#include <bits/stdc++.h>
#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )
typedef long long LL;
inline void chkmin( LL& a, const LL b ) { b < a && ( a = b ); }
const int MAXN = 2e5;
int n, m, b[MAXN + 5], ord[MAXN + 5];
LL a[MAXN + 5], c[MAXN + 5];
int main() {
scanf( "%d %d", &n, &m );
rep ( i, 1, n ) scanf( "%lld", &a[i] );
rep ( i, 1, m ) scanf( "%d", &b[i] ), ord[i] = i;
rep ( i, 1, m ) scanf( "%lld", &c[i] );
std::sort( a + 1, a + n + 1,
[]( const LL u, const LL v ) { return u > v; } );
std::sort( ord + 1, ord + m + 1, []( const int u, const int v )
{ return 1ull * c[u] * b[v] < 1ull * c[v] * b[u]; } );
LL sa = 0, sb = 0, sc = 0, ans = 1ll << 60;
rep ( i, 1, n ) sa += a[i];
rep ( i, 1, m ) sb += b[i];
for ( int i = 0, j = 1; i <= n; ++i ) {
sa -= a[i];
for ( ; j <= m && 1ll * i * b[ord[j]] > c[ord[j]];
sb -= b[ord[j]], sc += c[ord[j++]] );
chkmin( ans, sa + i * sb + sc );
}
printf( "%lld
", ans );
return 0;
}