题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2617
参考博客：https://blog.csdn.net/dreaming__ldx/article/details/80872728
在主席树的基础上实现单点更新也不困难，主要我们要明白主席树的函数性质，也就是一个根节点代表的信息我们可以认为是一段前缀，朴素主席树的T(i)树代表的是区间[1,i]的前缀，这样子单点更新之后就必须更新之后的T(i+1)~T(n)的线段树，这样的话时间复杂度非常高，我们可以利用主席树的函数性质，用树状数组套主席树，树状数组的C[i]点的主席树维护的是[i-lowbit(i)+1,i]区间的插入信息（虽然在根节点都是维护[1,n]区间），也就是T(i)树维护的是lowbit(i)长度的区间。每棵主席树维护的区间不是前缀区间，这个是树状数组套主席树的重点。所以更新的时候我们只要更新树状数组中的logn个结点，而在这每个结点之中我们需要修改一条链上的logn个结点（该结点属于主席树）。最终q次修改+m次查询的时间复杂度是O(q*log^2(n)+mlogn)。注意树状数组是建立在原数组的基础上的，所以树状数组中的索引与原数组的索引相关联，而主席树的索引则是离散值的索引，这与静态主席树相比又复杂了写，体现在add函数中，add函数传入的是实时原数组的索引，所以先修改位置的信息再通过这个位置获得修改的值的大小。
下面附上自写代码，结构体保存的树的信息，常数比较大：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef unsigned int ui; 4 typedef long long ll; 5 typedef unsigned long long ull; 6 #define pf printf 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 #define prime1 1e9+7 9 #define prime2 1e9+9 10 #define pi 3.14159265 11 #define lson l,mid,rt<<1 12 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 13 #define scand(x) scanf("%llf",&x) 14 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 15 #define scan(a) scanf("%d",&a) 16 #define mp(a,b) make_pair((a),(b)) 17 #define P pair<int,int> 18 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl; 19 #define inf 0x3f3f3f3f 20 const int maxn=1e5+10; 21 int n,m; 22 inline int read(){ 23 int ans=0,w=1; 24 char ch=getchar(); 25 while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();} 26 while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar(); 27 return ans*w; 28 } 29 30 struct node{ 31 int l,r,sum; 32 }t[maxn*405]; 33 struct qu{ 34 int a,b,c; 35 }q[maxn]; 36 int cnt=0,tot; 37 char s[10]; 38 //root中存放主席树的根节点编号，b中存放的所有将会出现在数列中的数 39 //b数组乘2是因为可能有1e5的原数据和1e5的更新点 40 //a中存放的是数组的实时动态情况，一旦有点修改就会体现在a数组上 41 int root[maxn*405],b[maxn<<1],a[maxn],qx[maxn],qy[maxn],ansx,ansy; 42 //在pre结点的基础上，建立now根结点并且在p位置加上v 43 //对每棵主席树的插入操作都是一样的，所以带修跟不带修的插入函数一样 44 int lowbit(int x){return x&(-x);} 45 void update(int l,int r,int pre,int &now,int p,int v) 46 { 47 t[++cnt]=t[pre]; 48 now=cnt; 49 t[now].sum+=v;//(now结点的区间一定是包含p位置的） 50 if(l==r)return; 51 int m=l+r>>1;//划分区间，决定向左子树还是右子树更新 52 if(p<=m)update(l,m,t[pre].l,t[now].l,p,v); 53 else update(m+1,r,t[pre].r,t[now].r,p,v); 54 } 55 void add(int x,int v)//给第x个数插上v，这是在树套树的主席树上进行的加操作 56 {//对于树状数组i位置上的主席树，根就是root[i] 57 int k=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[x])-b; 58 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))update(1,tot,root[i],root[i],k,v);//就在第i棵树上进行操作 59 } 60 int query(int l,int r,int k) 61 { 62 if(l==r)return l; 63 int sum=0,m=l+r>>1; 64 f(i,1,ansy)sum+=t[t[qy[i]].l].sum; 65 f(i,1,ansx)sum-=t[t[qx[i]].l].sum;//计算[l,m]区间插入的数的数量 66 if(k<=sum) 67 { 68 f(i,1,ansx)qx[i]=t[qx[i]].l; 69 f(i,1,ansy)qy[i]=t[qy[i]].l;//同步、更新、递归 70 return query(l,m,k); 71 } 72 else 73 { 74 f(i,1,ansx)qx[i]=t[qx[i]].r; 75 f(i,1,ansy)qy[i]=t[qy[i]].r; 76 return query(m+1,r,k-sum); 77 } 78 } 79 int main() 80 { 81 //freopen("input.txt","r",stdin); 82 //freopen("output.txt","w",stdout); 83 std::ios::sync_with_stdio(false); 84 n=read(),m=read(),cnt=0,tot=0; 85 f(i,1,n){ 86 a[i]=b[++tot]=read(); 87 } 88 f(i,1,m) 89 { 90 scanf("%s",s); 91 q[i].a=read(),q[i].b=read(); 92 if(s[0]=='Q')q[i].c=read(); 93 else q[i].c=0,b[++tot]=q[i].b; 94 //离线处理 95 } 96 sort(b+1,b+tot+1); 97 tot=unique(b+1,b+tot+1)-(b+1); 98 f(i,1,n)add(i,1);//将第i个数插入主席树 99 f(i,1,m) 100 { 101 if(q[i].c) 102 { 103 ansx=ansy=0; 104 for(int j=q[i].b;j;j-=lowbit(j))qy[++ansy]=root[j];//把需要查询的点的根节点的编号保存下来 105 for(int j=q[i].a-1;j;j-=lowbit(j))qx[++ansx]=root[j]; 106 pf("%d ",b[query(1,tot,q[i].c)]);//注意vector中下标从1开始 107 } 108 else 109 { 110 add(q[i].a,-1); 111 a[q[i].a]=q[i].b;//将点更新实时地在a上体现 112 add(q[i].a,1); 113 } 114 } 115 }