- 算法设计与分析之入门篇
- 跟着视频学习，感觉这里面的主要算法很重要！
- 对很多经典的问题理解不够。
复杂度分析
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低阶函数
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同阶函数
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高阶函数
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master定理求解阶数/迭代法求解具体的
递归方程
- 整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+n3+......nk(其中，n1>=n2>=......nk>=1,k>=1),正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数,记作p(n)。例如：正整数6有11总不同的划分
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
记q(n,m)为正整数n的所有不同划分中，最大加数n1不大于m的划分个数。可以建立如下递推关系:
前面三个递推式比较好理解，关键是第四个递推式。当n>m>1时，n的划分由两部分组成。以整数q(6,3)为例，q(n,m-1)内容是第5排和第6排内容，不大于2的6的划分；q(n-m,m)内容是第4排,不大于3的(6-3=3)的划分。
//2-4 整数划分问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int q(int n,int m);
int main(){
cout<<q(6,6)<<endl;
return 0;
}
int q(int n,int m)
{
if( n<1 || m<1)
{
return 0;
}
else if(n==1 || m==1)
{
return 1;
}
else if(n<m)
{
return q(n,n);
}
else if(n==m)
{
return q(n,m-1) + 1;
}
else
{
return q(n,m-1) + q(n-m,m);
}
}
- 汉诺塔问题
- 古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。有一个和尚想把这64个盘子从A座移到B座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求输出移动的步骤。
#include <iostream>
using namespace std;
void hanoi(int n, char a, char b, char c);
int main(){
char a = 'A', b = 'B', c = 'C';
hanoi(3, a, b, c);
return 0;
}
//借助c,将n个盘子从a移到b
void hanoi(int n, char a, char b, char c)
{
if (n > 0) //n等于1直接输出
{
hanoi(n - 1, a, c, b);//借助b,将n-1个盘子从a移到c
cout << "将" << a << "中最大的盘子从" << a << "移到" << b << endl;
hanoi(n - 1, c, b, a);//借助a，将n-1个盘子从c移到b
}
}
分治法
- 设计过程分三阶段：划分，求解，合并
- 自顶向下
- 大整数（二进制）乘法
- 最大值最小值问题（类似归并算法）
- 中位数问题
- 从n个不同的数中选第i大的元素（线性时间）
- 快速傅里叶变换
动态规划
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子问题相互独立，若不是相互独立，分治方法将重复计算公共子问题，效率低
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自底向上
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一类优化问题
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使用动态规划的条件：优化子结构，重叠子问题
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矩阵的乘法
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0-1背包问题
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动态规划方法可用的条件
- 优化子结构
- 子问题重叠性
- 子问题空间小
贪心法
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求解最优化问题
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每一步都有一组选择，作出在当前看来最好的选择
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希望通过作出局部优化选择达到全局优化选择
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贪心算法不一定总产生优化解
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贪心算法是否产生优化解，需要严格证明
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贪心算法产生优化解的条件是：
- 贪心选择性
- 优化子结构（严格） -
任务安排问题
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哈夫曼编码问题（前缀码-最优二叉树）
搜索策略
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暴力美学
- 转换为树搜索问题
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深度优先和广度优先
- 广度优先-队列实现
- 深度优先-栈实现
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搜索的优化
- 爬山法（使用贪心方法确定搜索的方向）-局部优化
- Best-First搜索策略-全局优化-用堆实现
- 分支界限（可以有效地求解组合优化问题）（剪枝）-缩小解空间，加速搜索
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八数码难题（8 puzzle）（广度优先）
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求解子集和问题（深度优先）
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哈密顿（Hamiltonian）环问题(深度优先)
字符串搜索
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字符串匹配问题
- 计算匹配算法的复杂度
O(m*(n-m))
- 计算匹配算法的复杂度
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Rabin-Karp算法，指纹思路。如果两个字符串hash后的值不相同，则它们肯定不相同；如果它们hash后的值相同，它们不一定相同。 -
RK算法的基本思想就是：将模式串P的hash值跟主串S中的每一个长度为|P|的子串的hash值比较。如果不同，则它们肯定不相等；如果相同，则再诸位比较之。
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补充Horner算法
KMP算法
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利用已有部分匹配中的信息
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需要寻找overlap
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基于自动机的算法；
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前缀表，由于sigma有可能比较大，所欲忘记未匹配的字符（alfa）
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这样可能导致再次匹配失败，但是也只是多匹配了一次，这样换取了时间和空间的优化
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P的前缀和P的前q位的后缀求最大的overlap，q+1位匹配失败
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核心就是求前缀表
- KMP算法流程
BMH算法
- 用逆向简单算法中增加了启发式规则
- P从前往后走，但模式P匹配时从后往前匹配
- 真实应用中，不匹配的概率大，最坏也可能是O(n*m)
- 对P去掉最后一位的每个字符计算偏移表，其他字符直接移动整个字符串长度
- 算法描述
