132. Palindrome Partitioning II
题目
Given a string s, partition s such that every substring of the partition is a palindrome.
Return the minimum cuts needed for a palindrome partitioning of s.
For example, given s = "aab",
Return 1 since the palindrome partitioning ["aa","b"] could be produced using 1 cut.
解析
【分析】
重述题意：输入一个字符串，将其进行分割，分割后各个子串必须是“回文”结构，要求最少的分割次数。显然，为了求取最少分割次数，一个简单的思路是穷尽所有分割情况，再从中找出分割后可构成回文子串且次数最少的分割方法。
解题思路：对于输入字符串如s=“aab”,一个直观的思路是判断“aab”是否构成回文，根据回文的特点是对称性，那么，我们可以判断s[0]与s[2]是否相等，不等，因此“aab”不能构成回文，此后再怎么判断呢？？？这种无章法的操作没有意义，因为一个字符串构成回文的情况是很复杂的，对于一个长度为n的字符串，其构成回文的子串长度可能的长度分布范围可以是1—n：整体构成回文如“baab”，则子串长度可为n=4;如“cab”，只能构成长度为1的回文子串。
鉴于上述分析，对于一个字符串，我们需要考虑所有可能的分割，这个问题可以抽象成一个DP问题，对于一个长度为n的字符串，设DP[i][j]表示第i个字符到第j个字符是否构成回文，若是，则DP[i][j]=1;若否，则DP[i][j]=0;如此，根据回文的约束条件（对称性），DP[i][j]构成回文需满足：
1、输入字符串s[i]==s[j],对称性；
2、条件1满足并不能保证i到j构成回文，还须：（j-i）<=1或者DP[i+1][j-1]=1；即，i、j相邻或者i=j，也就是相邻字符相等构成回文或者字符自身构成回文，如果i、j不相邻或者相等，i到j构成回文的前提就是DP[i+1][j-1]=1.
所以状态转移方程：DP[i][j]=(s[i]==s[j]&&(j-i<=1||DP[i+1][j-1]==1))。由于i必须小于j，i>=0&&i<s.length().如此，DP[i][j]构成一个下三角矩阵，空间、时间复杂度均为O(n2),如下所示：对于长度为4的字符串s=“baab”，其中红色部分为i>j，为无意义部分；绿色部分i==j，即字符串自身必然构成回文，DP[i][j]=1;白色部分，为长度大于1的子串，需要状态转移方程进行判断。
当输入字符串所有可能的分割情况求出来之后，我们需要进一步寻找最少分割次数，我们可以用一个一维数组来存储分割次数：设int[] cut=new int[s.length()+1],cut[i]表示第i个字符到最后一个字符所构成的子串的最小分割次数，这里的i有约束条件，就是第i个位置必须是可进行回文分割的，即DP[i][j]==1 (j>=i&&j<s.length()),故：
根据这个公式，我们最终要求的cut[0]与cut[0]、cut[1]...cut[len]都有关，直接求需要递归，效率低，因此我们可以逆序求解，即：先求cut[len-1]，最后求cut[0].
// palindrome partitioning ii
class Solution_132 {
// 考虑是否要用回文检测（这里最优算法是不能专门写个函数用回文检测的，时间复杂度过高）
// 其实可以在动态规划算法中直接检测是否是回文，不用专门写个函数
//运行时间：6ms
//占用内存：1416k
public:
int minCut(string s) {
int len = s.size();
if (len<=1)
{
return 0;
}
vector<vector<int> > dp(len,vector<int>(len,0)); //表示i->j是否构成回文串
vector<int> cnt(len + 1, INT_MAX);
cnt[len + 1] = 0;
for (int i = len - 1; i >= 0;i--)
{
for (int j = i; j < len;j++)
{
if (s[i]==s[j]&&(j-i<=1||dp[i+1][j-1]==1))
{
dp[i][j] = 1;
cnt[i] = min(1 + cnt[j + 1], cnt[i]); // 最后一个INT_MAX+1溢出
}
}
}
return cnt[0] - 1;
}
};
题目来源