对数的计算公式

性质编辑

①

  

；

②

  

；

③负数与零无对数.

④

  

*

  

=1；

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）

推导：log(a) (a^N)=N

恒等式证明

在a>0且a≠1，N>0时

设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

运算法则编辑

①

 

②

 

③

 

(M,N∈R)

如果

  

，则m为数a的自然对数，即

  

，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若

  

则

 

基本性质：

1、

 

2、

 

3、

 

4、

 

5、

 

推导：

1、因为

  

，代入则

  

，即

  

。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

4、与（2）类似处理

由基本性质1(换掉M)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

或

由基本性质2（展开

  

，如图所示）

对数基本性质4推导过程

基本性质4推广

推导如下： 由换底公式（见下面）[

  

是

  

，e称作自然对数的底]

换底公式的推导： 设

  

则

其中

 

得：

 

由基本性质4可得

 

再由换底公式

 

换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

求导数编辑

(xlogax)'=logax+1/lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x