概率论复习纲要

概率论复习纲要

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第一章

全概率公式：

[P(A) = P(A | B_1 )P(B_1) + P(A | B_2 )P(B_2) + dots + P(A | B_n )P(B_n) ]

贝叶斯公式：

[egin{aligned} P(B_i|A) & = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{sum^n_{j=1}P(A | B_j )P(B_j) } \ & = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)} space space i = 1,2, dots , n end{aligned} ]

相互独立： (P(AB) = P(A)P(B))

• A，B相互独立： ({A，ar B})、({ar{A}, B})、({ar{A},ar{B}})也相互独立。

• 多事件相互独立： (P(ABC)=P(A)P(B)P(C))

• 伯努利概型：表示n次实验中某一事件恰好发生k次。

  [P_n(k)=C^k_nP^kq^{n-k},space k=0,1,2,dots,n ]

第二章

带参数 关于概率密度

两点分布，0-1分布：(Xsim b(1, p))

二项分布：(Xsim b(n, p))，

[P{X=k}= C^K_np^kq^{n-k}, space k=0,1,2,dots,n ]

泊松分布：

[P{X = k} = frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}, space k=0,1,2,dots ]

$ lambda = np (, 记)X sim pi(lambda)$ $

分布函数：(F{x} = P{Xle x})

密度函数：

[f(x)=lim_{Delta ightarrow 0^+}frac{F(x+Delta x)-F(x)}{Delta x} = lim_{Delta ightarrow 0^+}frac{P{x<X<x+Delta x}}{Delta x} ]

均匀分布： (Xsim u(a, b)),

[f(x) = left{ egin{aligned} frac{1}{b-a}& , space a < x < b, \ 0& , space 其它 end{aligned} ight. ]

指数分布： (Xsim E(lambda))

[f(x) = left{ egin{aligned} lambda e^{-lambda x}&, space a<x<b, \ 0&,space 其它 end{aligned} ight. ]

正态分布：(Xsim N{mu, sigma^2}),

[f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} ]

反三角函数的导数：

[egin{aligned} &(arcsinx)'=frac{1}{sqrt{(1-x^2)}}\ &(arccosx)'=-frac{1}{sqrt{(1-x^2)}}\ &(arctanx)'=frac{1}{(1+x^2)}\ &(arccotx)'=-frac{1}{(1+x^2)}\ end{aligned} ]

第三章

边缘概率密度：(f_X(x), f_Y(y))

[left { egin{aligned} f_X(x) &= int^infty_{-infty}f(x,y)dy \ space \ f_Y(y) &= int^infty_{-infty}f(x,y)dx end{aligned} ight. ]

条件概率密度：(f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)})

X，Y相互独立：

[F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) ightarrow f(x,y) = f_X(x)cdot f_Y(y) ]

正态分布：

[egin{aligned} &(X,Y)sim N(mu_1,mu_2,sigma_1^2,sigma_2^2, ho)\ &f(x,y) egin{aligned} =& frac{1}{2pisigma_1sigmasqrt{1- ho^2}}cdot expig{-frac{1}{2(1- ho^2)}cdot\&ig[frac{(x-mu_1)^2}{sigma_1^2}-frac{2 ho(x-mu_1)(y-mu_2)}{sigma_1sigma_2} + \&frac{(y-mu_2)^2}{sigma^2_2}ig]ig},space -infty<x,y<+infty end{aligned}\ &f_X(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}},\ &f_Y(y)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma_2}e^{-frac{(y-mu_2)^2}{2sigma_2^2}}\& 若X和Y相互独立，则 ho=1 end{aligned} ]

第四章

数学期望： (E(X) = int^{infty}_{-infty}xf(x)dx)

数学期望性质：

1. (E(C) = C)
2. (E(CX) = CE(X))
3. (E(X+Y) = E(X) + E(Y))
4. X、Y相互独立：(E(XY) = E(X)E(Y))

方差：(D(X) = EX^2 - (EX)^2)

方差性质：

1. (D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y))
2. (D(CX) = C^2D(X))
3. (D(X+C)=D(X))

分部积分：

[egin{aligned} d(uv) &= udv + vdu \ udv &= d(uv) + vdu end{aligned} ]

反对幂指三：

[int^b_audv=uv|^b_a - int^b_avdu ]

协方差：(cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y))

协方差性质：

1. (cov(aX, bY)= abspace cov(X,Y))
2. (cov(X_1+X_2, Y)=cov(X_1, Y)+cov(X_2, Y))

相关系数： ( ho_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}cdotsqrt{D(Y)}})