1491. [NOI2007]社交网络【最短路计数】

Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，

两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人

之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路

径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过

统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有

多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s

到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图

，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每

一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号

。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有

一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500

，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间

的最短路径数目不超过 10^10

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1

Sample Output

1.000
1.000
1.000
1.000

HINT

社交网络如下图所示。

对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结

点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他

三个结点的重要程度也都是 1 。

这个题唯一的难点就是最短路计数的问题
我一开始口胡的一个计数方法基本是对的，但有一个关键的地方出了点问题
当可以更新时，用中介点两端的条数乘起来更新就好了（看代码非常好理解）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #define N (100+10)
 5 using namespace std;
 6 long long dis[N][N],dis_cnt[N][N];
 7 long long n,m,u,v,l;
 8 
 9 void Floyd()
10 {
11     for (int k=1;k<=n;++k)
12         for (int i=1;i<=n;++i)
13             for (int j=1;j<=n;++j)
14             {
15                 if (dis[i][k]+dis[k][j]==dis[i][j])
16                     dis_cnt[i][j]+=dis_cnt[i][k]*dis_cnt[k][j];
17                 if (dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
18                 {
19                     dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
20                     dis_cnt[i][j]=dis_cnt[i][k]*dis_cnt[k][j];
21                 }
22             }
23 }
24 
25 double Count(int v)
26 {
27     double ans=0;
28     for (int s=1;s<=n;++s)
29         for (int t=1;t<=n;++t)
30             if (s!=v && t!=v && s!=t && dis[s][v]+dis[v][t]==dis[s][t])
31                 ans+=dis_cnt[s][v]*dis_cnt[v][t]*1.0/dis_cnt[s][t];
32     return ans;
33 }
34 
35 int main()
36 {
37     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
38     scanf("%lld%lld",&n,&m);
39     for (int i=1;i<=m;++i)
40     {
41         scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&l);
42         dis[u][v]=dis[v][u]=l;
43         dis_cnt[u][v]=dis_cnt[v][u]=1;
44     }
45     Floyd();
46     for (int i=1;i<=n;++i)
47         printf("%0.3lf
",Count(i));
48 }