BZOJ1010:[HNOI2008]玩具装箱TOY(斜率优化DP)

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

Solution

这个题唯一麻烦的就是化式子……DP式子还是很简单的
$f_i=min { f_j+(s_i-s_j+i-j-1-L)^2 }$
一开始就是因为不会化解式子……但这里有个很巧妙的方法
把$i$和$i$放到一起，$j$和$j$放到一起
设$p_i=s_i+i,p_j=s_j+j,L'=L+1$
式子化出来就是
$f_i=min { -2p_ip_j+p_j^2+f_j+2p_jL' } +p_i^2-2p_iL'+L'^2$
设$x$为$p_i$，$k$为$-2p_j$，$b$为$p_j^2+f_j+2p_jL'$，斜率优化即可。

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #define LL long long
 5 #define N (50000+100)
 6 using namespace std;
 7 
 8 LL p[N],s[N],n,L,x;
 9 LL q[N*2],head,tail,f[N];
10 
11 LL K(LL j) { return -2*p[j]; }
12 LL B(LL j) { return p[j]*p[j]+f[j]+2*p[j]*(L+1); }
13 LL Y(LL i,LL j) { return K(j)*p[i]+B(j); }
14 
15 bool cover(LL x1,LL x2,LL x3)
16 {
17     LL w1=(B(x3)-B(x1))*(K(x1)-K(x2));
18     LL w2=(B(x2)-B(x1))*(K(x1)-K(x3));
19     return w1>=w2;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     scanf("%lld%lld",&n,&L);
25     for (LL i=1;i<=n;++i)
26         scanf("%lld",&x),s[i]=s[i-1]+x,p[i]=s[i]+i;
27     LL head=1,tail=1;
28     for (LL i=1;i<=n;++i)
29     {
30         while (head<tail && Y(i,q[head])>=Y(i,q[head+1])) head++;
31         f[i]=Y(i,q[head]) + p[i]*p[i] - 2*p[i]*(L+1) + (L+1)*(L+1);
32         while (head<tail && cover(i,q[tail],q[tail-1])) tail--;
33         q[++tail]=i;
34     }
35     printf("%lld",f[n]);
36 }