BZOJ1770:[USACO]lights 燈(高斯消元,DFS)

Description

貝希和她的閨密們在她們的牛棚中玩遊戲。但是天不從人願，突然，牛棚的電源跳閘了，所有的燈都被關閉了。貝希是一個很膽小的女生，在伸手不見拇指的無盡的黑暗中，她感到驚恐，痛苦與絕望。她希望您能夠幫幫她，把所有的燈都給重新開起來！她才能繼續快樂地跟她的閨密們繼續玩遊戲！ 牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盞燈，編號為1到N。這些燈被置於一個非常複雜的網絡之中。有M（1 <= M <= 595）條很神奇的無向邊，每條邊連接兩盞燈。 每盞燈上面都帶有一個開關。當按下某一盞燈的開關的時候，這盞燈本身，還有所有有邊連向這盞燈的燈的狀態都會被改變。狀態改變指的是：當一盞燈是開著的時候，這盞燈被關掉；當一盞燈是關著的時候，這盞燈被打開。 問最少要按下多少個開關，才能把所有的燈都給重新打開。 數據保證至少有一種按開關的方案，使得所有的燈都被重新打開。

Input

＊第一行：兩個空格隔開的整數：N和M。

＊第二到第M+1行：每一行有兩個由空格隔開的整數，表示兩盞燈被一條無向邊連接在一起。 沒有一條邊會出現兩次。

Output

第一行：一個單獨的整數，表示要把所有的燈都打開時，最少需要按下的開關的數目。

Sample Input

5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3

輸入細節：

一共有五盞燈。燈1、燈4和燈5都連接著燈2和燈3。

Sample Output

3

輸出細節：

按下在燈1、燈4和燈5上面的開關。

Solution

不能再这么颓了不然真的就要凉透了
还有这题目为什么是繁体的

搞死小圆高斯消元好强啊QAQ这个题的做法也好神奇啊
很容易可以发现，开关的顺序不会影响最终结果

那么到底应该怎么搞呢？举个栗子
有3盏灯，其中1和2连接，1和3不连接，那么我们可以列出一个方程
(1*ans[1])^(1*ans[2])^(0*ans[3])=1
ans[]表示这个灯有没有按。灯1本身或者和灯1相连的灯系数为1，否则为0
为什么这么列呢？很容易发现，如果为1的项的异或和为1，那么最后结果肯定是1
感性理解一下，应该挺好懂的
以此类推我们可以列出n个这样的方程，然后我们就可以用高斯消元来把这个矩阵消了
消异或矩阵和消普通矩阵是一样的，只不过是把加减的操作换成异或
 
消了之后不要记着求答案，因为答案里面可能有自由变元。
怎么办呢？可以用爆搜替代普通高斯消元的答案回带，
若当前行的答案固定就算出来，否则的话就枚举0/1记入答案。继续搜下一层。

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (50)
using namespace std;

int n,m,minn=0x7fffffff,u,v;
int f[N][N],ans[N],head[N],num_edge;

void Gauss()
{
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int num=i;
        for (int j=i+1; j<=n; ++j)
            if (f[j][i]>f[i][i])
                num=j;
        if (num!=i)
            for (int j=1; j<=n+1; ++j)
                swap(f[i][j],f[num][j]);
        for (int j=i+1; j<=n; ++j)
            if (f[j][i])
                for (int k=i; k<=n+1; ++k)
                    f[j][k]^=f[i][k];
    }
}

void Dfs(int x,int now)
{
    if (now>=minn) return;
    if (x==0) {minn=now; return;}
    
    if (f[x][x])
    {
        int t=f[x][n+1];
        for (int i=x+1; i<=n; ++i) t^=f[x][i]*ans[i];
        ans[x]=t;
        Dfs(x-1,now+(t==1));
    }
    else
    {
        ans[x]=0; Dfs(x-1,now);
        ans[x]=1; Dfs(x-1,now+1);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<=m; ++i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        f[u][v]=f[v][u]=1;
    }
    for (int i=1; i<=n; ++i) f[i][n+1]=f[i][i]=1;
    Gauss();
    Dfs(n,0);
    printf("%d",minn);
}