逆元(转载）

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的；

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在 p 是素数的情况下，对任意整数 x 都有 xp≡x(mod)p 。 
如果 x 无法被 p 整除，则有 xp−1≡1(modp) 。 
可以在 p 为素数的情况下求出一个数的逆元， x∗xp−2≡1(modp) ， xp−2 即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

复杂度O(logn)；

代码如下：

const int mod = 1000000009;  
long long quickpow(long long a, long long b) {  
    if (b < 0) return 0;  
    long long ret = 1;  
    a %= mod;  
    while(b) {  
        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;  
        b >>= 1;  
        a = (a * a) % mod;  
    }  
    return ret;  
}  
long long inv(long long a) {  
    return quickpow(a, mod - 2);  
}  

(2)扩展欧几里得算法求逆元

扩展欧几里得算法可以参考小白书；

百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~

可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

复杂度：O(logn)；

代码

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {  
    if (b == 0) {  
        x = 1, y = 0;  
        return a;  
    }  
    else {  
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);  
        y -= x * (a / b);  
        return r;  
    }  
}  
ll inv(ll a, ll n) {  
    ll x, y;  
    extend_gcd(a, n, x, y);  
    x = (x % n + n) % n;  
    return x;  
}  

(3) 逆元线性筛 ( P为质数 )

求1,2,...,N关于P的逆元（P为质数）

复杂度：O(N)

代码：

const int mod = 1000000009;  
const int maxn = 10005;  
int inv[maxn];  
inv[1] = 1;  
for(int i = 2; i < 10000; i++)  
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;