PE394 数学

给定一段长为(1)的区间，计算下列步骤的期望操作步数

1. 随机在([0,L])中生成两个数(a, b)，其中(L)是区间的剩余长度
2. 令(L =L- max{a, b})，如果(x < c)，那么退出步骤

对于参数(c=x)，记(F(x))为此问题的答案，试计算(F(40^{-1}))，保留十位小数

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简单的大学数学题...

设(E(x))为剩余区间长度为(x)时的答案，所求即(E(1))

设随机变量(Y = max{a,b})

显然(E(x) = egin{cases} 1 + int_0^x E(x-t)P(Y=t) mathrm{d} t & (x geqslant c)\0 & (0leqslant x<c)end{cases})

考虑求(P(Y=t))，根据定义，我们有(P(Y=t) mathrm{d}t= mathrm{d} P(Y leq t))

而(P(Y leq t) = (frac{t}{x})^2)，故(P(Y = t) = frac{2t}{x^2})

那么原式等价于(E(x) = egin{cases} 1 + int_0^x E(x-t)frac{2t}{x^2} mathrm{d} t & (x geqslant c)\0 & (0leqslant x<c)end{cases})

我们只考虑(x geq c)的情况，也即(E(x)=1 + int_0^x E(x-t)frac{2t}{x^2} mathrm{d} t)

稍作变换，(E(x)=1 + int_0^x E(t)frac{2(x-t)}{x^2} mathrm{d} t)

继续，(x^2E(x) = x^2 + int_0^x E(x-t)2t mathrm{d} t)

两边对(x)求微分，得(x^2 mathrm{d}E(x) + 2xE(x) = 2x + 2int_0^x E(t) mathrm{d} t)

我们记(y=int_0^x E(t) mathrm{d} t)，那么考虑解微分方程(x^2y'' + 2xy' = 2x + 2y)

当然，首选是数值逼近

作变量替换(x = e^t)，得(D(D-1)y + 2Dy = 2e^t + 2y)

即(D^2y+Dy-2y = 2e^t)，该方程的特解为(y = frac{2}{3}te^t)

而特征方程(r^2 + r - 2=0)的两根为(1)和(-2)，故通解为(y=c_1e^t + c_2e^{-2t})

整合，我们得到(y = frac{2}{3}te^t + c_1e^t + c_2e^{-2t}=frac{2}{3}x ln x + c_1x + frac{c_2}{x^2})

对应的有(E(x) = y' = frac{2}{3} ln x + c_1 + frac{c_2}{x^3})

此时有两个未定的常数，条件仿佛只有(E(c) = 1)

但注意到，我们的运算过程保证(E(x))是可微的，因此还需补上(E'(c^{+})=0)的条件

代入(c = frac{1}{40})即可