最大匹配

(Tutte-Berge;Formula)

定义(q(G))表示图(G)有多少个奇联通分量

定义(C(G))为图(G)中的联通分量的集合

那么，一个图(G)的最大匹配的大小为(frac{1}{2}min_{S subseteq V(G)}(|S|+|G|-q(G-S)))

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考虑(S)为任意一个集合，(M)为任意一个匹配

在(M)中，设满足与(S)中点关联的边数为(k_1)，其余边数记为(k_2)

显然有，(k_1 leqslant |S|)，考虑(k_2)，也即两个边的端点都在(G-S)中的边

由于每个奇联通分量中至少有一个节点不在(M)中，因此(k_2 leqslant frac{1}{2}(|G|-|S|-|q(G-S)|))

那么，(|M| = k_1 + k_2 leqslant frac{1}{2}(|S|+|G|-q(G-S)))

如果存在一个集合(S)，存在一个匹配(M)取到等号，那么公式的正确性就不言而喻了

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• (Hall)定理

二分图(G)存在匹配，当且仅当(forall S subseteq V(G))，(|N(S)| geqslant |S|)

• (Tutte)定理

一般图(G)存在匹配，当且仅当(forall S subseteq V(G))，(q(S) leqslant |S|)

我们不加证明的给出上述两个定理，利用以上定理，我们可以证明

• 对任意图(G)，存在顶点集(S)满足
  • 将(S)中的边删除，将(q(G-S))中所有的分量收缩后，得到的二分图存在一个饱和(S)的匹配
  • (G-S)中的每个联通分量都是奇联通分量，并且去掉任意一个顶点后，对应的联通分量存在完美匹配

取满足上述条件的(S)，我们可以构造一个取得等号的匹配(M)

取第一个条件中，饱和(S)的匹配，之后对每个联通分量，在满足第一个条件的情况下，选取一个顶点，剩下的点构成匹配，这样构造出的(M)恰好取得等号