Sqrt(x)

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

牛顿迭代法：

public class Solution {
    double eps = 0.000001;
    public int sqrt(int x) {
        // Start typing your Java solution below
        // DO NOT write main() function
        double val = x;
        double last = 0;
        do{
            last =val;
            val = (val + x/val) / 2;
        }while(Math.abs(val - last) > eps);
        int l = (int) last;
        if( l * l > x)
            l --;
        return l;
    }
}

 

       给定一个正数a，不用库函数求其平方根。

       设其平方根为x，则有x²=a，即x²-a=0。设函数f(x)= x²-a,则可得图示红色的函数曲线。在曲线上任取一点(x₀,f(x₀))，其中x₀≠0那么曲线上该点的切线方程为

                             (1-1)

       求该切线与x轴的交点得

                            （1-2）

      因为1-2式中x₀作为分母，所以在之前限定了一下初始值不要选0。那么得到的这个与x轴的交点其实是最终要求得的x的一次逼近，我们再以这个x基准继续迭代就可以求得更逼近的x，至于逼近到什么时候才算完，这个取决于你自己设定的精度。整个过程的迭代只需要几步就可以求得最终的结果。

   

代码如下：

double NewtonMethod(double fToBeSqrted)
{
    double x = 1.0;
    while(abs(x*x-fToBeSqrted) > 1e-5)
    {
        x = (x+fToBeSqrted/x)/2;
    }

    return x;
}

当然，从图中可以看出，当你所取的初始值的横坐标在红色曲线与x轴交点右边，即比最终的结果大时，比如选初始值x=a，我们可以将while语句里面的abs(x*x-fToBeSqrted)直接换成fToBeSqrted -x*x，这样可以省去abs的运算。当然这不能确保效率的提升，因为初始值的选取直接影响了迭代的次数。

以下摘自红黑联盟：http://www.2cto.com/kf/201206/137256.html

我们平时经常会有一些数据运算的操作，需要调用sqrt，exp，abs等函数，那么时候你有没有想过：这个些函数系统是如何实现的？就拿最常用的sqrt函数来说吧，系统怎么来实现这个经常调用的函数呢？

虽然有可能你平时没有想过这个问题，不过正所谓是“临阵磨枪，不快也光”，你“眉头一皱，计上心来”，这个不是太简单了嘛，用二分的方法，在一个区间中，每次拿中间数的平方来试验，如果大了，就再试左区间的中间数；如果小了，就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果，你先试（0+16）/2=8，8*8=64，64比16大，然后就向左移，试（0+8）/2=4，4*4=16刚好，你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了：

float SqrtByBisection(float n) //用二分法
{
 if(n<0) //小于0的按照你需要的处理
  return n;
 float mid,last;
 float low,up;
 low=0,up=n;
 mid=(low+up)/2;
 do
 {
  if(mid*mid>n)
   up=mid;
  else
   low=mid;
  last=mid;
  mid=(up+low)/2;
 }while(abs(mid-last) > eps);//精度控制
 return mid;
} 然后看看和系统函数性能和精度的差别（其中时间单位不是秒也不是毫秒，而是CPU Tick，不管单位是什么，统一了就有可比性）

从图中可以看出，二分法和系统的方法结果上完全相同，但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢？难道系统有什么更好的办法？难道。。。。哦，对了，回忆下我们曾经的高数课，曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”，或者这种方法可以帮助我们，具体步骤如下：

求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
(       4  + 2/4        ) / 2 = 2.25
(     2.25 + 2/2.25     ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
....
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

相关的代码如下：

float SqrtByNewton(float x)
{
 float val = x;//最终
 float last;//保存上一个计算的值
 do
 {
  last = val;
  val =(val + x/val) / 2;
 }while(abs(val-last) > eps);
 return val;
}然后我们再来看下性能测试：

 

哇塞，性能提高了很多，可是和系统函数相比，还是有这么大差距，这是为什么呀？想啊想啊，想了很久仍然百思不得其解。突然有一天，我在网上看到一个神奇的方法，于是就有了今天的这篇文章，废话不多说，看代码先：

float InvSqrt(float x)
{
 float xhalf = 0.5f*x;
 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy

 return 1/x;
}然后我们最后一次来看下性能测试：

这次真的是质变了，结果竟然比系统的还要好。。。哥真的是震惊了！！！哥吐血了！！！一个函数引发了血案！！！血案，血案。。。

到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”，到底为什么速度那么快吗？不急，先看看下面的故事吧：

Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。

最近，QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址：
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547

(下面是官方的下载网址，搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的。ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)

我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在game/code/q_math.c）， 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：

float Q_rsqrt( float number )
{
 long i;
 float x2, y;
 const float threehalfs = 1.5F;

 x2 = number * 0.5F;
 y   = number;
 i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
 y   = * ( float * ) &i;
 y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
 // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

 #ifndef Q3_VM
 #ifdef __linux__
   assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
 #endif
 #endif
 return y;
}  函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“what the fuck?”的一句
      i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

再加上y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。

算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。

没错，一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值，就是我们加注释的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。 论文下载地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf

参考：<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>

最后，给出最精简的1/sqrt()函数：

float InvSqrt(float x)
{
 float xhalf = 0.5f*x;
 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
 return x;
}  大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验，惊讶一下它的工作效率。

前两天有一则新闻，大意是说 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到这么样的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code)：

float InvSqrt (float x)
{
 float xhalf = 0.5f*x;
 int i = *(int*)&x;
 i = 0x5f3759df - (i>>1);
 x = *(float*)&i;
 x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
 return x;
}
 

第二遍： 使用二分来做。

public class Solution {
    public int sqrt(int x) {
        // Start typing your Java solution below
        // DO NOT write main() function
        int start = 0, end = x, result = 0;
        while(start <= end){
            int mid = (start + end) / 2;
            if(mid * mid < x){
                result = mid;
                start = mid + 1;
            }else if(mid * mid == x){
                return result;
            }else end = mid - 1;
        }
        return result;
    }
}

 第三遍：

public int sqrt(int x) {
        if(x < 2) return x;
        int start = 0, end = x, mid = 0;
        while(start < end){
            mid = start + end;
            if(mid * mid == x) return mid;
            else if(mid * mid < x) start = mid + 1;
            else end = mid - 1;
        }
        return mid;
    }