回溯法 之 马周游（马跳日）问题

回溯法的应用很多，下面讲述一个有趣的马周游问题。

马周游（马跳日）问题：在一个 8*8 的棋盘上（如下图）一匹马从任意位置开始，恰好走过棋盘中的每一格（每个格子有且只能走一次），并且最后还可以回到起点位置。

                                                

这个问题其实可以进行推广：即棋盘大小不一定是 8*8 ，只要棋盘大小 M * N 满足:

① M >=6 ;N>= 6 ② M N都是偶数  ③ | M-N | <=2   

当然这个问题还可以缩小：即马周游最后不一定要回到原点，只要遍历走完棋盘中的所有格子即可。

显然常规的解法就是采用回溯法，并且要在回溯过程中进行剪枝。

一、下面从马周游最简单的问题描述开始做起：即马周游只需要遍历走完棋盘中的所有格子即可，不要求最后要回到起点位置。

解法说明：其实很容易理解到，马周游棋盘，也就是要遍历棋盘中的所有格子有且只能一次，那么很显然就是一个图的遍历问题了。怎么理解呢？

在前面的文章 八皇后 中，每个皇后都有 8 个位置的选择，那么对应来说就是一个满八叉树（也可以看做是图）的遍历。下面给出一个四皇后问题的图解。在这个图中我们就可以清楚的看到图的遍历过程，而且是深度优先遍历。

 

那么同样的，关于马周游问题，也是同样要进行图的深度优先遍历过程。那么深度优先遍历过程可以递归实现，可以非递归实现。下面分别给出其实现代码。

（1）递归实现

#include<iostream>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>

using namespace std;

//马周游的棋盘，注意使用的时候是从下表为1开始
int board[100][100];

int fx[]= {2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
int fy[]= {-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};

int n; //棋盘大小

//参数x,y 表示棋盘的位置
//检测(x,y) 对应位置在棋盘中是否合法
bool check(int x,int y)
{
    if(x<1 || y<1 || x>n || y>n || board[x][y] != 0)
        return false;
    return true;
}

//输出结果
void outputResult(int n)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cout<<endl<<endl;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            cout<<setw(3)<<board[i][j]<<" ";
        }
    }
    cout<<endl<<endl;
}

void runTable(int a,int b,int number)
{
    if(number == n*n) //已经走完棋盘中所有的点
    {
        outputResult(n); //输出
        exit(1);
    }

    for(int i=0; i<8; i++) //表示每一个格都有八种走法
    {
        if(check(a + fx[i],b + fy[i]))
        {
            int x = a + fx[i];
            int y = b + fy[i];

            board[x][y] = number+1; //走到下一个位置，设置其序号为 number+1

            runTable(x, y,number+1);
            board[x][y] = 0;//回溯
        }
    }
}

//递归走法
void horseRun(int x,int y)
{
    int number = 1;
    board[x][y] = number; //首先确定起始位置这个格是序号为1
    runTable(x, y,number);
}

int main()
{
    cout<<"输入棋盘大小n:";
    cin>>n;

    int x,y;
    cout<<"输入马周游起始位置x(1~n),y(1~n):";
    cin>>x>>y;

    horseRun(x,y);
    return 0;
}

运行效果：

           

说明：以上程序在运行棋盘大小为 6*6 的时候，可以很快跑出结果，但是在棋盘大小为 8*8 的时候，就要花费几秒，说明这个运行的效果不是很好。

（2）非递归实现

#include<iostream>
#include <iomanip>
#include <queue>
using namespace std;

//在某一格子的八种走法
int fx[]= {2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
int fy[]= {-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};

typedef struct
{
    int x,y; //坐标
    int number; //序号
} Point; //棋盘中的格子

//马周游的棋盘，注意使用的时候是从下表为1开始
Point board[10000][10000];

int n; //棋盘大小
int step =1; //序号

//输出结果
void outputResult(int n)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cout<<endl<<endl;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            cout<<setw(3)<<board[i][j].number<<" ";
        }
    }
    cout<<endl<<endl;
}

bool check(int x,int y)
{
    if(x<1 || y<1 || x>n || y>n || board[x][y].number != 0)
        return false;
    return true;
}

//下一位置有多少种走法
int nextPosHasSteps(int x, int y)
{
    int steps = 0;
    for (int i = 0; i < 8; ++i)
    {
        if (check(x + fx[i], y + fy[i]))
            steps++;
    }
    return steps;
}

//非递归的走法
void horseRun(Point point)
{
    queue<Point> pointQueue;
    pointQueue.push(point);

    Point temp;

    while(!pointQueue.empty())
    {
        temp = pointQueue.front();
        pointQueue.pop();

        board[temp.x][temp.y].number = step++;

        int minStep = 8;

        int flag = 0;

        for(int i=0; i<8; i++) //出下一位置走法最少的进入对列
        {
            int x=temp.x + fx[i];
            int y=temp.y + fy[i];

            if(check(x,y))
            {
                if(nextPosHasSteps(x,y) <= minStep)
                {
                    minStep = nextPosHasSteps(x,y);

                    Point t;
                    t.x = x;
                    t.y = y;

                    if(flag) pointQueue.pop();

                    pointQueue.push(t);
                    flag = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cout<<"输入棋盘大小n:";
    cin>>n;

    Point startPoint;
    cout<<"输入马周游起始位置x(1~n),y(1~n):";
    cin>>startPoint.x>>startPoint.y;

    horseRun(startPoint);
    //输出结果
    outputResult(n);
    return 0;
}

说明：在程序中已经用到了一个剪枝：即每一次都优先走下一位置走法最少的。 关于剪枝的内容下面会具体讲述。

运行效果：

说明：此种解法可以很快的跑出结果，甚至在 几千乘以几千的棋盘中，都是几乎瞬间跑出结果，效果十分的好，因为这里面用了一个很关键的剪枝。

二、完整解决马周游问题：既要遍历走完棋盘中所有的格子，最后还要回到起点。

有了上面第一个简化版马周游的解决经验，那么完整解决马周游问题，无法就是再添加一个限制条件：最后要回到起点。

那么首先还是要先介绍一下在这个马周游回溯过程中要用到的剪枝（如果不用剪枝，那么算法执行效率会很低）。

使用剪枝有3处：

1、使用Warnsdorff's rule。在当前位置（Now）考虑下一个位置（Next）的时候，优先选择下一个的位置（Next）走法最少的那个。作为当前位置（Now）的下一位置（Next）。

譬如说：下图所示，当前位置现在要确定下一位置，那么就要所有的下一个位置进行考察，看看假如走到下一个位置，它的下一个位置又有多少种走法，选择下一个位置可能走法最少的作为当前位置（Now）的下一个位置（Next）。

2、在进行了第一点的剪枝后，如果可以优先选择的下一个位置不止一个，则优先选择离中心位置较远的位置作为下一步（即靠近边边的位置）。

通俗点理解，第一点的剪枝就是走那些位置可能走到机会比较小的，反正走到的机会小，那么先走完总是好的，要不然你兜一圈回来，还是要走这一个位置的。

第二点的剪枝就是走法尽量从边边走，然后是往中间靠。

3、第三点的剪枝，每次都从棋盘的中间点开始出发，然后求出一条合法路径后再平移映射回待求路径。

怎么理解呢？所谓马周游棋盘，最后还要回到起点。也就是在棋盘中找到一条哈密顿回路。那么不管你是从哪里开始的，最后都是会在这个哈密顿回路中的，那么选取的中点的位置也肯定是在这个回路上的。

最后，找到这个这个以中点为起点的哈密顿回路后，根据设定起点在这个回路中的序号，映射回以这个位置为起点的马周游路线即可。

至于为什么要从棋盘中间位置开始呢？ 我就不太能解释了。

                                        

知道了上面的三种剪枝方式，那么具体是要如何实现的呢？

（1）关于第一点和第二点的剪枝，二者关联很大。那么我们可以将二者结合起来。放到一个结构体中，这个结构体表征是的是下一位置。

typedef struct NextPos
{

    int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法；走法少的优先考虑
    int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位
    int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离；距离中间点远的优先考虑

    //
    bool operator < (const NextPos &a) const
    {
        return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength;
    }

};

注意其中， 下一位置走法少的优先，下一位置距离中点远的优先。

这样我们在挑选下一个位置的时候，可以将符合要求的放到一个优先队列中，这样选取下一位置的时候直接从优先队列拿出了就好了（省去排序的工作）。

（2）关于第三点的剪枝，其实就是涉及到最后输出结果，这个比较简单。

下面完整给出代码实现：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>
#include <queue>
using namespace std;

typedef struct
{
    int x;
    int y;
} Step;

Step step[8] = { {-2, -1}, {-1, -2}, { 1, -2}, { 2, -1}, { 2, 1}, { 1, 2}, {-1, 2}, {-2,1} };

typedef struct NextPos
{
    int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法；走法少的优先考虑
    int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位
    int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离；距离中间点远的优先考虑

    //
    bool operator < (const NextPos &a) const
    {
        return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength;
    }

};

int board[100][100];
int M,N; //棋盘大小

//检测这个位置是否可以走
bool check(int x, int y)
{
    if (x >= 0 && x < M && y >= 0 && y < N && board[x][y] == 0)
        return true;
    return false;
}
//下一位置有多少种走法
int nextPosHasSteps(int x, int y)
{
    int steps = 0;
    for (int i = 0; i < 8; ++i)
    {
        if (check(x + step[i].x, y + step[i].y))
            steps++;
    }
    return steps;
}
//判断是否回到起点
bool returnStart(int x, int y)
{
    //校验最后是否可以回到起点，也就是棋盘的中间位置
    int midx,midy;
    midx = M / 2 - 1;
    midy = N / 2 - 1;
    for (int i = 0; i < 8; ++i)
        if (x + step[i].x == midx && y + step[i].y == midy)
            return true;
    return false;
}

//输出结果
void outputResult(int xstart,int ystart)
{
    int num = M * N;
    int k = num - board[xstart][ystart];
    for (int i = 0; i < M; ++i)
    {
        cout<<endl<<endl;
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            board[i][j] = (board[i][j] + k) % num + 1;
            cout<<setw(5)<<board[i][j];
        }
    }
    cout<<endl<<endl;
}

//某一位置距离棋盘中心的距离
int posToMidLength(int x,int y)
{
    int midx = M / 2 - 1;
    int midy = N / 2 - 1;
    return (abs(x - midx) + abs(y - midy));
}

void BackTrace(int t, int x, int y,int xstart,int ystart)
{
    //找到结果
    if (t == M * N && returnStart(x,y)) //遍历了棋盘的所以位置，并且最后可以回到起点，形成回路
    {
        outputResult(xstart,ystart);
        exit(1);
    }
    else
    {
        priority_queue<NextPos> nextPosQueue;
        for (int i = 0; i < 8; ++i)
        {
            if (check(x + step[i].x, y + step[i].y))
            {
                NextPos aNextPos;
                aNextPos.nextPosSteps = nextPosHasSteps(x + step[i].x, y + step[i].y);
                aNextPos.nextPosDirection = i;
                aNextPos.nextPosToMidLength = posToMidLength(x + step[i].x,y + step[i].y);
                nextPosQueue.push(aNextPos);
            }
        }

        while(nextPosQueue.size())
        {
            int d = nextPosQueue.top().nextPosDirection;
            nextPosQueue.pop();

            x += step[d].x;
            y += step[d].y;
            board[x][y] = t + 1;
            BackTrace(t + 1, x, y,xstart,ystart);
            //回溯
            board[x][y] = 0;
            x -= step[d].x;
            y -= step[d].y;
        }
    }
}


void horseRun(int xstart,int ystart)
{
    //初始化棋盘
    for (int i = 0; i < M; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            board[i][j] = 0;
    int midx = M / 2 -1;
    int midy = N / 2 -1;
    board[midx][midy] = 1; //从棋盘的中间的位置开始马周游
    BackTrace(1, midx, midy,xstart,ystart);
}

int main(void)
{
    //马周游起始位置
    int x, y;

    cout<<"请输入棋盘大小m*n�|m-n|<=2 且 m和n都为偶数 且 m,n < 20 :";
    cin>>M>>N;

    cout<<"请输入马周游起始位置--横纵坐标0 <= x < "<<M<<"和0 <= y < "<<N<<" :";
    cin>>x>>y;

    horseRun(x,y); //执行马周游
    return 0;
}

运行效果：

说明：这个程序的极限是 20 ，当棋盘大小达到 20 * 20 的时候就很难跑出结果，但是小于20的棋盘都可以很快的跑出结果。

好了，关于马周游问题就讲述到这里，欢迎交流讨论。