【动态规划】洛谷P1006传纸条

题目描述：

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入输出格式：

输入格式：

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例：

输入样例#1：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例#1：

34

说明：

【限制】

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

思路：

• 这类题一般看一眼就知道可以用四维方法做

• 但其实此题可以采用三维方法 具体为f[k][i][j] 其中k为走的步数

• 因为一个传回来一个传回去 这道题就相当于一人传两个单子中间不重复

• 据此特殊情况 我们可以发现 只有步数相同时 两个单子才能够在重复一个人中出现这也是三维可以行的原因

• 由于从上到下步数时一定的那么步数确定的情况，横坐标+纵坐标为定值=步数加1

• 这样 纵坐标就可以省略；

• 代码如下：
  

  #include<cstdio>
  #include<iostream>
  using namespace std;
  
  int m,n,map[51][51],f[102][51][51];
  
  int main()
  {
      scanf("%d%d",&m,&n);
      for(int i=1;i<=m;++i)
          for(int j=1;j<=n;++j)
              scanf("%d",&map[i][j]);
      for(int i=2;i<=m+n-1;++i)
          for(int j=max(1,i-n+1);j<=min(m,i);j++)
              for(int k=max(1,i-n+1);k<=min(m,i);k++)
              {
                  f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k],f[i-1][j-1][k]),max(f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k-1]))
                             +map[j][i-j+1]+map[k][i-k+1];
                  if(j==k)f[i][j][k]-=map[j][i-j+1];
              }
      printf("%d",f[n+m-1][m][m]);
      return 0;
  }