性质篇：
1.c++中主函数可以递归调用。
2.c++中定义数组后，调用a[1]和1[a]效果完全一样。
3.只有一个儿子 的节点 才会在知道 前序后序 的情况下有不同的中序遍历
4.对于一个方格矩阵，任意取两点，要想两点之间的连线不经过任意格点，则$$gcd(x_1-x_2,y_1-y_2)=1$$
5.离散数学，数论，与计算机科学中的逆元定义是不一样的咯。
6.费马小定理求逆元对应模数应为素数。
7.一个无向无环图上的广义叶子节点（度数为1）除以2向上取整即为将整张图联通所需要加的最少的边数。
公式篇：
1.n个人排成一条链，有c种选择，每个相邻的人的选择不能相同的方案数：
$$ans=c*c^{n-1}$$
2.n个人排成一个环，有c种选择，每个相邻的人的选择不能相同的方案数：
$$ans=(c-1)^n+(-1)^n*(c-1)$$
3.(小凯的疑惑)两个互质的数，随便加，最大加不出
$$a*b-a-b$$
4.计算一个数的约数个数：
首先将这个数质因数分解，假设为$a^m imes b^n$，那么约数个数为$(n+1) imes (m+1)$
5.计算一个数的约数和：
首相将这个数质因数分解，假设为$a^m imes b^n$，那么约数和为$(a^0+a^1+a^2+...a^m) imes (b^0+b^1+b^2+...b^n)$。
6.对于一个高为h，速度为v的物体抛出，要扔的最远那么
$$ ext{角度为} frac{v}{ sqrt {2 imes v^2 + 2gh} } $$
$$ ext{最远距离为} v imes sqrt { frac {v^2+2gh}{g} } $$
7.任意多边形知道坐标计算面积：
$$S= frac{1}{2} (| sum^{n-1}_{i=1} (x_iy_{i+1 }-x_{i+1} {y_i} ) | + | x_1y_n - x_ny_1 | ) $$
8.对于一个长度为n的集合，其所有子集的合为
$$ sum^n_{i=1}{a_i} imes 2^{n-1} $$
9.$1-n$中gcd(i,j)=k的个数有
$$2 imes sum^{ lfloor frac{n}{k} floor }_{i=1} phi(i)-1 $$
10.一个长度为$n imes m $的矩形中包含___个小矩形
$$ sum_{i=1}^{n}i imes sum_{i=1}^{m}i $$
11.等比数列求和公式
$$S_n= frac {a_1(1-q^n)}{1-n} (a为数列第一项,q为公比,n为序列长度)$$
12.解一般三次方程$(x^3=mx+n)$[卡丹公式]
$$x= sqrt[3]{ frac{n}{2}+sqrt{ ( frac {n}{2} )^2-( frac{m}{3} )^3 } } + sqrt[3]{ frac{n}{2}- sqrt{ (frac{n}{2})^2- (frac{m}{3})^3 } } $$
13.求整数n的约数和
首先质因数分解
$$n= prod_{i=1}{k} = p_1^{a_1} imes p_2^{a_2} imes .... imes p_k^{a_k} $$
==>$$Sum=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1 } ) imes (1+p_2+p_2^2+....+p_2^{a_2}) imes .... imes (1+p_k+p_k^2+....+p_k^{a_k})$$
参考第15项等比数列求和公式计算答案可得
==>$$Sum= prod_{i=1}^{k} frac{P_i^{a_i+1}-1}{a_i-1}$$
14.根据费马定理可知
$$a^x equiv a^{ mu (x) }mod p, mu(x)=x-1$$
15.等比数列求和公式
$$S_n=egin{cases}a_1 imes n(q=1)\a_1 frac{1-q^n}{1-q} = frac{a_1 - a_n imes q }{1-q} (q ot= 1 )end{cases}$$
$$S_n表示等比数列前n项的和，q表示公比,a_1表示数列第一项$$
16.球的体积公式
$$V=frac{4}{3} pi R^3$$
$$公式中R为球的半径,V为球的体积$$
17.卡特兰数的计算公式
$$C_n= frac{1}{n} inom{2n}{n}= frac{(2n)!}{(n+1)!n!} = inom{2n}{n}-inom{2n}{n-1} $$
18.三角函数
正弦定理$$k=frac{a}{SinA}=frac{b}{SinB}=frac{c}{SinC}$$
余弦定理$$a^2=b^2+c^2-2bc·CosA$$
19.关于取模
$$frac{a}{b} \%p= frac{a \% (b·p)}{b}$$
20.平方和问题
$$sum_{i=1}^{n}i^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
21.汉诺塔问题
由打表的出的答案$1,3,5,15,31...$
可得两种规律(证明的话当然用数学归纳法啦)
$$a_i=2 imes a_{i-1}+1$$
$$a_i=2^i-1$$
Continuous renewal...
大家有什么可以尽情提出哦。