集训笔记——数论：gcd与exgcd

2020年2月29日更新：

首先求两数gcd有两种方法：

1. 辗转相除法（较常用）
2. 更相减损法（有独特的优势但是一般情况下运算较慢）

gcd代码：

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

 

众所周知：

lcm（a,b）=a*b/gcd（a,b）

然后我们来解一个如下的方程：

a*x+b*y=c　　①

对x,y求解

(已知a,b,c,x,y均为整数，a,b,c已知）

裴蜀定理：

a、b互质的充要条件为存在x，y∈Z，使得a*x+b*y=1

由此我们还可得到一个结论：

如果a*x+b*y=c   (已知a,b,c,x,y属于Z，a,b,c已知），则一定有gcd(a,b) | c  (这里的‘ | ’表示被整除，左面为小数，如2|6，3|12）

即一定有c为gcd的倍数，才保证此方程有解　　②

如果要解①的方程，就要用到exgcd了！

现在一步步分析：

我们来解①的方程，那么显而易见我们可以有结论②

所以说如果①方程有解，则c可以写成k*gcd（a，b）的形式

然后我们把a的位置代入b，b的位置代入a%b，故gcd（a，b）就变成了gcd（b，a%b)

但由于gcd（b，a%b)=gcd（a，b），所以等式右端恒不变

所以①方程也就变成了求解如下方程：

b*x‘+a%b*y’=c　　③

又因为a%b=a-b*(a/b)

所以③方程又可以变成：

b*x‘+（a-b*(a/b)）*y’=c　　④

然后进行转化就有：

a*y‘+b *（x’-b*(a/b)*y‘）= c　　⑤

所以说解方程①就是在解方程⑤，如果说我们已经知道了方程⑤中的一组解x'和y‘，那么我们就知道了方程①一定存在的一组解：x=y'，y=（x’-b*(a/b)*y‘）.

所以说我们就是在求x'和y'就可以了

然后我们会发现a和b的不断更新就相当于在求gcd的更新的过程，总会有一刻b=0，所以说当b=0时，有a*x=c=k*gcd（a，b），此时x=c/a，并且建议令y=0（原因在后面会讲），然后回溯

所以我们回溯到上一步时，有令上一步的x=y，y=（x’-b*(a/b)*y‘）

重复这一过程，知道回到最初的一步。

解释一下为什么在b==0的时候，建议将y赋值为0

由于在回溯的过程中，x会被赋值为y，y会被赋值为（x’-b*(a/b)*y‘），如果在b==0时y被赋值为其他值，虽然最后也会求出一组解，但是y会滚雪球似的增大，所以很有可能超出最大合法数值。

exgcd代码实现：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ;
}

然后再讲一下答案的处理：

我们有了a*x+b*y=c  ①  时的一组x，y的解

然后我们对①方程进行相应变式：

故我们就有了a*x+b*y+k*a*b-k*a*b=c的一组解

对左侧进行合并：

有 a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=c

所以我们对我们求出的x可以进行相应的处理，我们可以对x减去或加上无数的b，我们也得到了另一个x的解

所以当我们需要最小的正整数x解时，我们可得：

x=(x%b+b)%b

当其他的情况时，可以进行相应的操作

最后列一下两种exgcd的代码：

• 第一种（真·直译）

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ;
}

• 第二种（用来背的代码；紫书上的，更短更好背，也更容易让人迷糊）

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return ;
}

exgcd讲完了，现在开始讲题：

1.洛谷P1082 同余方程

原题传送门

原题：a*x+b*y=1 (显然b为负数）

因为保证有解，所以一定有a,b互质

这就是典型的用exgcd的问题

a,b已知

那么就是求x的最小正整数解了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,x,y;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%d",(x%b+b)%b);
    return 0;
}

2.lgP1516 青蛙的约会

原题传送门

课件分析：

• 设x0为最终结果，让青蛙相对运动，可列 出式子： 
• (m - n)x0 = y - x (mod L) 
• 显然该式可以转化为： 
• (m - n)x0 + Ly = y - x 
• 再变换一下变成： 
• ax + by = c 
• 变成了熟悉的exgcd问题，正常求解即可。

我个人分析也和课件差不多

代码：（莫名其妙WA掉了#5和#10两个数据）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll x,y,m,n,l;
ll nm,xy;
ll t,tmp;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=xy/gcd(n-m,l);y=0;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll temp;
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    nm=n-m;xy=x-y;
    l=-l;
    if(xy%gcd(n-m,l)!=0) {
        printf("Impossible");
        return 0;
    }
    exgcd(nm,l,t,tmp);
    printf("%lld",((t%l)+abs(l))%l);
    return 0;
}