2020年2月29日更新：
首先求两数gcd有两种方法：
- 辗转相除法（较常用）
- 更相减损法（有独特的优势但是一般情况下运算较慢）
gcd代码：
1 int gcd(int a,int b){ 2 if(b==0) return a; 3 return gcd(b,a%b); 4 }
众所周知：
lcm（a,b）=a*b/gcd（a,b）
然后我们来解一个如下的方程：
a*x+b*y=c ①
对x,y求解
(已知a,b,c,x,y均为整数，a,b,c已知）
裴蜀定理：
a、b互质的充要条件为存在x，y∈Z，使得a*x+b*y=1
由此我们还可得到一个结论：
如果a*x+b*y=c (已知a,b,c,x,y属于Z，a,b,c已知），则一定有gcd(a,b) | c (这里的‘ | ’表示被整除，左面为小数，如2|6，3|12）
即一定有c为gcd的倍数，才保证此方程有解 ②
如果要解①的方程，就要用到exgcd了！
现在一步步分析：
我们来解①的方程，那么显而易见我们可以有结论②
所以说如果①方程有解，则c可以写成k*gcd（a，b）的形式
然后我们把a的位置代入b，b的位置代入a%b，故gcd（a，b）就变成了gcd（b，a%b)
但由于gcd（b，a%b)=gcd（a，b），所以等式右端恒不变
所以①方程也就变成了求解如下方程：
b*x‘+a%b*y’=c ③
又因为a%b=a-b*(a/b)
所以③方程又可以变成：
b*x‘+（a-b*(a/b)）*y’=c ④
然后进行转化就有：
a*y‘+b *（x’-b*(a/b)*y‘）= c ⑤
所以说解方程①就是在解方程⑤，如果说我们已经知道了方程⑤中的一组解x'和y‘，那么我们就知道了方程①一定存在的一组解：x=y'，y=（x’-b*(a/b)*y‘）.
所以说我们就是在求x'和y'就可以了
然后我们会发现a和b的不断更新就相当于在求gcd的更新的过程，总会有一刻b=0，所以说当b=0时，有a*x=c=k*gcd（a，b），此时x=c/a，并且建议令y=0（原因在后面会讲），然后回溯
所以我们回溯到上一步时，有令上一步的x=y，y=（x’-b*(a/b)*y‘）
重复这一过程，知道回到最初的一步。
解释一下为什么在b==0的时候，建议将y赋值为0
由于在回溯的过程中，x会被赋值为y，y会被赋值为（x’-b*(a/b)*y‘），如果在b==0时y被赋值为其他值，虽然最后也会求出一组解，但是y会滚雪球似的增大，所以很有可能超出最大合法数值。
exgcd代码实现：
1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 2 if(!b){ 3 x=1;y=0;return ; 4 } 5 exgcd(b,a%b,x,y); 6 int temp; 7 temp=x; 8 x=y; 9 y=temp-(a/b)*y; 10 return ; 11 }
然后再讲一下答案的处理：
我们有了a*x+b*y=c ① 时的一组x，y的解
然后我们对①方程进行相应变式：
故我们就有了a*x+b*y+k*a*b-k*a*b=c的一组解
对左侧进行合并：
有 a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=c
所以我们对我们求出的x可以进行相应的处理，我们可以对x减去或加上无数的b，我们也得到了另一个x的解
所以当我们需要最小的正整数x解时，我们可得：
1 x=(x%b+b)%b
当其他的情况时，可以进行相应的操作
最后列一下两种exgcd的代码：
- 第一种（真·直译）
1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 2 if(!b){ 3 x=1;y=0;return ; 4 } 5 exgcd(b,a%b,x,y); 6 int temp; 7 temp=x; 8 x=y; 9 y=temp-(a/b)*y; 10 return ; 11 }
- 第二种（用来背的代码；紫书上的，更短更好背，也更容易让人迷糊）
1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 2 if(!b){ 3 x=1;y=0;return ; 4 } 5 exgcd(b,a%b,y,x); 6 y-=(a/b)*x; 7 return ; 8 }
exgcd讲完了，现在开始讲题：
1.洛谷P1082 同余方程
原题：a*x+b*y=1 (显然b为负数）
因为保证有解，所以一定有a,b互质
这就是典型的用exgcd的问题
a,b已知
那么就是求x的最小正整数解了
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int a,b,x,y; 4 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 5 if(!b){ 6 x=1;y=0;return ; 7 } 8 exgcd(b,a%b,x,y); 9 int temp; 10 temp=x; 11 x=y; 12 y=temp-(a/b)*y; 13 return ; 14 } 15 int main(){ 16 scanf("%d%d",&a,&b); 17 exgcd(a,b,x,y); 18 printf("%d",(x%b+b)%b); 19 return 0; 20 }
2.lgP1516 青蛙的约会
课件分析：
• 设x0为最终结果，让青蛙相对运动，可列 出式子： • (m - n)x0 = y - x (mod L) • 显然该式可以转化为： • (m - n)x0 + Ly = y - x • 再变换一下变成： • ax + by = c • 变成了熟悉的exgcd问题，正常求解即可。
我个人分析也和课件差不多
代码：（莫名其妙WA掉了#5和#10两个数据）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 ll x,y,m,n,l; 5 ll nm,xy; 6 ll t,tmp; 7 ll gcd(ll a,ll b){ 8 if(b==0) return a; 9 return gcd(b,a%b); 10 } 11 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 12 if(!b){ 13 x=xy/gcd(n-m,l);y=0;return ; 14 } 15 exgcd(b,a%b,x,y); 16 ll temp; 17 temp=x; 18 x=y; 19 y=temp-(a/b)*y; 20 return ; 21 } 22 int main(){ 23 scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l); 24 nm=n-m;xy=x-y; 25 l=-l; 26 if(xy%gcd(n-m,l)!=0) { 27 printf("Impossible"); 28 return 0; 29 } 30 exgcd(nm,l,t,tmp); 31 printf("%lld",((t%l)+abs(l))%l); 32 return 0; 33 }