【数据结构】时间复杂度和空间复杂度计算

时间复杂度AND空间复杂度专项

本文参考：https://www.cnblogs.com/coder-programming/p/11093608.html

时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，我们通常用「时间复杂度」来描述。
空间维度：是指执行当前算法需要占用多少内存空间，我们通常用「空间复杂度」来描述。

时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

常见的时间复杂度：

常见的时间复杂度：

常数阶 O(1)

对数阶 O(log2n)

线性阶 O(n)

线性对数阶 O(nlog2n)

平方阶 O(n^2)

立方阶 O(n^3)

k 次方阶 O(n^k)

指数阶 O(2^n)

常见阶数串讲

• 常数阶 O（1）

  • 没有循环结构，代码上万行都可以，消耗并不伴随某个的增长而增长，都是O（1）

• 对数阶O（log2n）

  • 举个例子

  int n=1000;
  
  int i=1;
  
  while(i<=n){
      i=i*2;
  }
  
  cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;
  

  看在while循环中执行了多少次：while终止条件是i>n的时候，即当2的x次方等于n时结束循环，那么显然x=log2n。也就是说while循环执行了log2n次后就结束了，那么这个算法的时间复杂度就是log2n。

  从这个例子可以看出，如果将循环改成

  i=i*3;
  

  那么复杂度自然就变成了log3n。

• 线性阶O（n）

  现在你已经基本入门啦，我们直接上例子，线性阶很好理解，就是在循环中变量增长从倍数变成了单个增长。

  int n=1000;
  
  int i=1;
  
  while(i<=n){
      i++;
  }
  
  cout<<"啦啦啦啦i="<<i<<endl;
  

  显然i需要增加n次才可以执行结束，故时间复杂度为O（n）

• 线性对数阶O（nlogN）

  套娃！外层循环执行n次，内部循环需要执行logN次，那么一共就是n*logN啦，故时间复杂度为O（nlogN）。

  继续上代码：

  int j=0;
  
  for(int i=1;i<=n;i++){
      j=1;
      while(j<n){
          j=j*2;//时间复杂度为O(log2n)
      }
  }
  

  这个时间复杂度就是O(nlog2n)

• 平方阶O(n²)

  平方阶和线性对数阶类似，也是套娃！

  外层n，内层n不就成n²了吗！

  如果外层m，内层n，那么就是O（mn）

• 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

  类似~

运算法则

以上举例都是套娃或者单个循环的，如果遇到多个怎么办？这就涉及到时间复杂度计算法则了：

只关注循环执行次数最多的一段代码

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

• 平均时间复杂度：所有可能输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
• 最坏时间复杂度：最坏情况下（即算法运行时间最长的情况）
• 平均时间复杂度与最坏时间复杂度是否一致，与算法有关。

空间复杂度

类似于时间复杂度，一个算法的空间复杂度定义为该算法所耗费的存储空间，也是问题规模n的函数

（别问，上面一句话我没看懂。。。）

可以理解为，空间复杂度是用来评判一个算法的执行所需占用的临时存储空间。在做算法分析的时候，主要讨论的是时间复杂度。从用户体验上看，更看重程序的执行速度，所以有时候为了提升算法速度使用空间来换时间。

突然想到那种变态排序，1~2015范围，直接开辟2016的数组大小，有数的就标记为1其余为0，然后遍历输出。。。时间复杂度：O(n)

定义

算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

举个例子：

void print(int n) {
  int i = 0;//常量阶，不算问题规模
  int[] a = new int[n];//规模为n
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

显然代码开辟了一个规模为n的数组，故整体的空间复杂度为O(n)