Strassen矩阵乘法
矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。若A和B是2个n×n的矩阵，则它们的乘积C=AB同样是一个n×n的矩阵。A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:
若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i,j]，需要做n个乘法和n-1次加法。因此，求出矩阵C的n2个元素所需的计算时间为0(n3)。
60年代末，Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2.18)。
首先，我们还是需要假设n是2的幂。将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵，每个子矩阵都是n/2×n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:
(1)由此可得:
C11=A11B11+A12B21 (2)
C12=A11B12+A12B22 (3)
C21=A21B11+A22B21 (4)
C22=A21B12+A22B22 (5)
如果n=2，则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来，共需8次乘法和4次加法。当子矩阵的阶大于2时，为求2个子矩阵的积，可以继续将子矩阵分块，直到子矩阵的阶降为2。这样，就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法，计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个n/2阶方阵的加法。2个n/2×n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成，这里c是一个常数。因此，上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足：
这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n3)。因此，该方法并不比用原始定义直接计算更有效。究其原因，乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数。而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多。要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性，必须减少子矩阵乘法运算的次数。按照上述分治法的思想可以看出，要想减少乘法运算次数，关键在于计算2个2阶方阵的乘积时，能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算，但增加了加、减法的运算次数。这7次乘法是:
M1=A11(B12-B22)
M2=(A11+A12)B22
M3=(A21+A22)B11
M4=A22(B21-B11)
M5=(A11+A22)(B11+B22)
M6=(A12-A22)(B21+B22)
M7=(A11-A21)(B11+B12)
做了这7次乘法后，再做若干次加、减法就可以得到:
C11=M5+M4-M2+M6
C12=M1+M2
C21=M3+M4
C22=M5+M1-M3-M7
以上计算的正确性很容易验证。例如:
C22=M5+M1-M3-M7
=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12-B22)-(A21+A22)B11-(A11-A21)(B11+B12)
=A11B11+A11B22+A22B11+A22B22+A11B12
-A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12+A21B11+A21B12
=A21B12+A22B22
由(2)式便知其正确性。
至此，我们可以得到完整的Strassen算法如下：
procedure STRASSEN(n,A,B,C);
begin
if n=2 then MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)
else begin
将矩阵A和B依(1)式分块;
STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1);
STRASSEN(n/2,A11+A12,B22,M2);
STRASSEN(n/2,A21+A22,B11,M3);
STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4);
STRASSEN(n/2,A11+A22,B11+B22,M5);
STRASSEN(n/2,A12-A22,B21+B22,M6);
STRASSEN(n/2,A11-A21,B11+B12,M7);; end; end;
其中MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)是按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法。
Strassen矩阵乘积分治算法中，用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知，该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:
按照解递归方程的套用公式法，其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可见，Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。
有人曾列举了计算2个2阶矩阵乘法的36种不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法，使乘法的计算次数少于7次，按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界。但是Hopcroft和Kerr(197l)已经证明，计算2个2×2矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再寄希望于计算2×2矩阵的乘法次数的减少。或许应当研究3×3或5×5矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是O(n2.367)。而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2)。因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性。关于这一研究课题还有许多工作可做。
/**
* Strassen矩阵乘法
* */
import java.util.*;
public class Strassen{
public Strassen(){
A = new int[NUMBER][NUMBER];
B = new int[NUMBER][NUMBER];
C = new int[NUMBER][NUMBER];
}
/**
* 输入矩阵函数
* */
public void input(int a[][]){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
for(int i = 0; i < a.length; i++) {
for(int j = 0; j < a[i].length; j++) {
a[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
}
/**
* 输出矩阵
* */
public void output(int[][] resault){
for(int b[] : resault) {
for(int temp : b) {
System.out.print(temp + " ");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 矩阵乘法，此处只是定义了2*2矩阵的乘法
* */
public void Mul(int[][] first, int[][] second, int[][] resault){
for(int i = 0; i < 2; ++i) {
for(int j = 0; j < 2; ++j) {
resault[i][j] = 0;
for(int k = 0; k < 2; ++k) {
resault[i][j] += first[i][k] * second[k][j];
}
}
}
}
/**
* 矩阵的加法运算
* */
public void Add(int[][] first, int[][] second, int[][] resault){
for(int i = 0; i < first.length; i++) {
for(int j = 0; j < first[i].length; j++) {
resault[i][j] = first[i][j] + second[i][j];
}
}
}
/**
* 矩阵的减法运算
* */
public void sub(int[][] first, int[][] second, int[][] resault){
for(int i = 0; i < first.length; i++) {
for(int j = 0; j < first[i].length; j++) {
resault[i][j] = first[i][j] - second[i][j];
}
}
}
/**
* strassen矩阵算法
* */
public void strassen(int[][] A, int[][] B, int[][] C){
//定义一些中间变量
int [][] M1=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M2=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M3=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M4=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M5=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M6=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] M7=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] C11=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] C12=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] C21=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] C22=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] A11=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] A12=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] A21=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] A22=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] B11=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] B12=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] B21=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] B22=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] temp=new int [NUMBER][NUMBER];
int [][] temp1=new int [NUMBER][NUMBER];
if(A.length==2){
Mul(A, B, C);
}else{
//首先将矩阵A，B 分为4块
for(int i = 0; i < A.length/2; i++) {
for(int j = 0; j < A.length/2; j++) {
A11[i][j]=A[i][j];
A12[i][j]=A[i][j+A.length/2];
A21[i][j]=A[i+A.length/2][j];
A22[i][j]=A[i+A.length/2][j+A.length/2];
B11[i][j]=B[i][j];
B12[i][j]=B[i][j+A.length/2];
B21[i][j]=B[i+A.length/2][j];
B22[i][j]=B[i+A.length/2][j+A.length/2];
}
}
//计算M1
sub(B12, B22, temp);
Mul(A11, temp, M1);
//计算M2
Add(A11, A12, temp);
Mul(temp, B22, M2);
//计算M3
Add(A21, A22, temp);
Mul(temp, B11, M3);
//M4
sub(B21, B11, temp);
Mul(A22, temp, M4);
//M5
Add(A11, A22, temp1);
Add(B11, B22, temp);
Mul(temp1, temp, M5);
//M6
sub(A12, A22, temp1);
Add(B21, B22, temp);
Mul(temp1, temp, M6);
//M7
sub(A11, A21, temp1);
Add(B11, B12, temp);
Mul(temp1, temp, M7);
//计算C11
Add(M5, M4, temp1);
sub(temp1, M2, temp);
Add(temp, M6, C11);
//计算C12
Add(M1, M2, C12);
//C21
Add(M3, M4, C21);
//C22
Add(M5, M1, temp1);
sub(temp1, M3, temp);
sub(temp, M7, C22);
//结果送回C中
for(int i = 0; i < C.length/2; i++) {
for(int j = 0; j < C.length/2; j++) {
C[i][j]=C11[i][j];
C[i][j+C.length/2]=C12[i][j];
C[i+C.length/2][j]=C21[i][j];
C[i+C.length/2][j+C.length/2]=C22[i][j];
}
}
}
}
public static void main(String[] args){
Strassen demo=new Strassen();
System.out.println("输入矩阵A");
demo.input(A);
System.out.println("输入矩阵B");
demo.input(B);
demo.strassen(A, B, C);
demo.output(C);
}
private static int A[][];
private static int B[][];
private static int C[][];
private final static int NUMBER = 4;
}
【测试】：
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
-----------
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
--------
8 8 8 8
8 8 8 8
8 8 8 8
8 8 8 8
