最近一场TC，做得是在是烂，不过最后challenge阶段用一个随机数据cha了一个明显错误的代码，最后免于暴跌rating，还涨了一点。TC题目质量还是很高的，非常锻炼思维，拓展做题的视野，老老实实补题吧。
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250pts
题意：判断s去掉一个字符后能否和t一样。
代码：
1 class DecipherabilityEasy { 2 public: 3 string check(string s, string t) { 4 int n = s.size(); 5 int m = t.size(); 6 if(n-1 != m) return "Impossible"; 7 for(int i = 0; i < n; i++){ 8 string tmp = ""; 9 for(int j = 0; j < i; j++) 10 tmp += s[j]; 11 for(int j = i+1; j < n; j++) 12 tmp += s[j]; 13 if(tmp == t) return "Possible"; 14 } 15 return "Impossible"; 16 } 17 };
500pts
题意：给定一个长度为n的序列，1 <= n <= 100，可以有两种操作，每次可以将序列从任意位置分成两部分，或者让序列长度减少1，每个操作占1min，每一轮中可以对每个序列进行一次以上操作，问是所有序列消失最短时间，其中split操作的次数不超过k。
分析：dp[n][k]表示对长度为n的序列，最多进行k次split操作时，最短时间。
可以得到以下转移：
dp[n][k] = min(dp[n][k], max(dp[i][j], dp[n-i][k-1-j])+1);
dp[n][k] = min(dp[n][k], n).
代码：
1 int dp[110][110]; 2 class CartInSupermarketEasy { 3 public: 4 5 int calc(int N, int K) { 6 memset(dp, -1, sizeof dp); 7 for(int i = 0; i <= N; i++) 8 dp[i][0] = i; 9 for(int i = 0; i <= K; i++) 10 dp[0][i] = 0; 11 // cout << dp[0][0] << endl; 12 // cout << (~0) << endl; 13 return dfs(N, K); 14 } 15 int dfs(int x, int y) { 16 // if(x == 0) return 0; 17 // if(y == 0) return x; 18 int &res = dp[x][y]; 19 // cout << dp[x][y] << endl; 20 // cout << res << endl; 21 // cout << x << y << endl; 22 // cout << res << endl; 23 if(~res) return res; 24 res = x; 25 res = min(res, dfs(x-1, y) + 1); 26 y--; 27 for(int i = 1; i < x; i++) 28 for(int j = 0; j <= y; j++) { 29 res = min(res, max(dfs(i,j), dfs(x-i, y-j))+1); 30 } 31 // if(res == 0) cout << x << y << endl; 32 return res; 33 } 34 };
解题关键：发现split操作后得到的子序列问题是原问题的子问题。
1000pts
题意：数组A[i]，长度n <= 50，求C，令B[i] = A[i]^C，使得B[i]中满足i < j，B[i] < B[j]的数对最多，输出这样的最大值。
分析：考虑两个数A[i]，A[j]异或一个数C的大小关系，考虑两数的二进制位，设从第k位开始，A[i]，A[j]二进制位不同，也就是k+1， k+2及高位都完全相同，设k位(x, 1-x)，那么异或后数B[i]，B[j]大小主要与(x，1-x)及C的第k位(记做y)有如下关系：
x = 0，y = 1，B[i] > B[j]; x = 0，y = 0，B[i] < B[j];
x = 1，y = 1，B[i] < B[j]; x = 1，y = 0，B[i] > B[j].
此题n不大，枚举第k位，确定第k位为0,1时，能够根据第k位为0或1确定的满足条件i < j，且B[i] < B[j]的对数，取两者中最大值。
代码：
1 class XorSequenceEasy { 2 public: 3 int getmax(vector <int> A, int N) { 4 int ans = 0, B = 0; 5 int n = sz(A); 6 N = __builtin_popcount(N-1); 7 // cout << N << endl; 8 for(int i = 0; i < N; i++) { 9 int tmp[2]; 10 tmp[0] = tmp[1] = 0; 11 for(int k = 0; k < n; k++) 12 for(int l = k+1; l < n; l++) { 13 if(((A[k]^A[l])>=(1<<i)) && 14 ((A[k]^A[l])<(1<<(i+1)))) 15 tmp[(A[k]>>i)&1]++; 16 } 17 if(tmp[0] < tmp[1]) B |= (1<<i); 18 } 19 // bug(1) 20 for(int i = 0; i < n; i++) A[i] ^= B; 21 for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = i+1; j < n; j++) 22 ans += (A[i] < A[j]); 23 return ans; 24 } 25 };
解题关键：发现异或后数的大小关系只和第k位有关。
div1
250pts
题意：字符串s(len <= 50)，从中去掉K个字符之后，能否根据剩下的字符，确定去掉的是哪些字符呢。
分析：去掉K个字符后剩下的字符构成的序列如果不是原s中的唯一序列，那么就不能确定去掉的是哪K个字符，因此，可以枚举s中两个相等的字符s[i]，s[j](i != j)，然后
判断LCS(s[0, i-1], s[0, j-1]) + LCS(s[i+1, len-1], s[j+1, len-1]) + 1 >= len-K么，这样是能判断剩下的序列是否唯一。上面想得略复杂，题解只是判断两个相等字符之间的长度j-i<=K否，因为此时优先移走s[i],s[j]中的一个，然后将i,j之间的字符去掉，剩下的字符已经是相同的了，不论怎么取剩下的字符，最终一定不能确定被移走的是哪些字符。
代码：
1 const int maxn = 55; 2 char sa[maxn], sb[maxn]; 3 string str; 4 int dp[maxn][maxn]; 5 6 class Decipherability { 7 public: 8 int len; 9 int LCS(int n, int m, bool rev) { 10 if(n == 0 || m == 0) return 0; 11 if(rev) { 12 for(int i = n-1; i >= 0; i--) 13 sa[n-1-i] = str[i]; 14 for(int i = m-1; i >= 0; i--) 15 sb[m-1-i] = str[i]; 16 } else { 17 for(int i = 0; i < n; i++) 18 sa[i] = str[len-n+i]; 19 for(int i = 0; i < m; i++) 20 sb[i] = str[len-m+i]; 21 } 22 memset(dp, 0, sizeof dp); 23 for(int i = 1; i <= n; i++) 24 for(int j = 1; j <= m; j++) 25 if(sa[i-1] == sb[j-1]) { 26 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; 27 } else { 28 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]); 29 } 30 return dp[n][m]; 31 } 32 string check(string s, int K) { 33 str = s; 34 len = sz(s); 35 if(len == K) return "Certain"; 36 int ok = 1; 37 for(int i = 0; i < len; i++) 38 for(int j = i+1; j < len; j++)if(s[i] == s[j]) { 39 if(LCS(i, j, true)+LCS(len-i-1, len-j-1, false) >= len-K-1) { 40 ok = 0; 41 break; 42 } 43 } 44 return ok ? "Certain" : "Uncertain"; 45 } 46 };
解题关键：剩下的字符构成的序列在原字符串中不唯一。
550pts
题意：div2 500pts升级版，之前已经知道B[i]，B[j]的大小只和第k位(x,1-x)及C的第k位y有关。
因此当y为0，需要知道A[j]第k位为1时，i < j 且A[i]的第k位为0 的个数；当y为1，A[j]第k位为0时，i < j，且A[i] 第k位为1的个数，注意A[i]，A[j]的k+1位及更高位都应该相同，这样便能够分别统计C的第k位为0,1确定的(i, j)的个数(B[i] < B[j], i < j) 。
对A[i]排序后得到A'[l, r]，从最高位开始，每次统计位于A'[l,r]范围的A[j]，当A[j]的第k位为1或0时,位于A[j]之前且k位 为0或1的A[i](i < j)的个数，统计后根据第k位为0 或 1，分成A'[l, mid], A'[mid+1, r]两部分继续统计第k-1位能够确定的数对(i, j)的个数。划分成A'[l, mid], A'[mid+1, r]的目的是为了保证高位都相同，进而对下一位进行统计。具体可以用树状数组实现，为了免去每次都要对数组置零的耗时，可以对数组的每个元素设一个标记。
代码：
1 const int maxn = 131072 + 10; 2 3 int order[maxn], A[maxn]; 4 LL ma[33][2]; 5 LL res[maxn][2]; 6 int cnt; 7 8 bool cmp(const int &x, const int &y) { 9 return A[x] < A[y]; 10 } 11 12 class XorSequence { 13 public: 14 15 void add(int x, int v) { 16 while(x < maxn) { 17 if(res[x][1] != cnt) { 18 res[x][0] = 0; 19 res[x][1] = cnt; 20 } 21 res[x][0] += v; 22 x += lowbit(x); 23 } 24 } 25 LL query(int x) { 26 LL ans = 0; 27 while(x > 0) { 28 if(res[x][1] != cnt){ 29 res[x][0] = 0; 30 res[x][1] = cnt; 31 } 32 ans += res[x][0]; 33 x -= lowbit(x); 34 } 35 return ans; 36 } 37 void dfs(int l, int r, int dep) { 38 if(l > r || dep < 0) return; 39 int mid = l-1; 40 while(mid+1 <= r) { 41 if(!(A[order[mid+1]]&(1<<dep))) 42 mid++; 43 else break; 44 } 45 46 if(mid >= l && mid < r) { 47 cnt++; 48 //memset(res[dep], 0, sizeof(res[dep])); 49 for(int i = l; i <= mid; i++) 50 add(order[i], 1); 51 for(int i = mid+1; i <= r; i++) { 52 ma[dep][0] += query(order[i]); 53 } 54 // memset(res[dep], 0, sizeof(res[dep])); 55 cnt++; 56 for(int i = mid+1; i <= r; i++) 57 add(order[i], 1); 58 for(int i = l; i <= mid; i++) 59 ma[dep][1] += query(order[i]); 60 } 61 dfs(l, mid, dep-1); 62 dfs(mid+1, r, dep-1); 63 } 64 long long getmax(int N, int sz, int A0, int A1, int P, int Q, int R) { 65 A[1] = A0; 66 A[2] = A1; 67 for (int i = 3; i <= sz; i++) { 68 A[i] = (1LL*A[i - 2] * P%N + 1LL*A[i - 1] * Q%N + R) % N; 69 } 70 int n = __builtin_popcount(N-1); 71 // for(int i = 1; i <= sz; i++) 72 // printf("%d ", A[i]); 73 // cout << endl; 74 75 for(int i = 1; i <= sz; i++) 76 order[i] = i; 77 sort(order + 1, order + sz + 1, cmp); 78 cnt = 0; 79 memset(ma, 0, sizeof ma); 80 memset(res, 0, sizeof res); 81 82 dfs(1, sz, n-1); 83 LL ans = 0; 84 for(int i = 0; i < n; i++) 85 ans += max(ma[i][0], ma[i][1]); 86 TL 87 return ans; 88 } 89 };
解题关键：排序后根据第k位对数组进行分组，统计。
850pts
题意：div2 500pt升级版，范围更大，且开始给定的n ( n <= 50)个序列，长度len及能够进行的split操作总次数<=1e9。
分析：官方题解是采用二分时间，然后在确定时间下单独考虑消除每个序列，二分需要的最少split次数，最后判断总的split次数是否<=splits。
难点在于怎么二分确定需要的最少split次数，题解里面给出了一系列证明，总结起来就是：先进行split操作，然后进行remove操作，这样结果肯定是更优的；
split的次数越多，结果更优。因此首先进行split操作，一个序列能够split成两个时，则split，如果满足split次数，能够继续将两个序列split成四个时，则split，继续split直到不能split所有序列，那么利用剩余的split次数对部分序列split，对没有split的其他部分序列进行remove操作，此时时间记做T1。剩余部分需要的时间T2和剩下的序列总长度，n'有关，即T2 = 
，判断T1+T2 <= timeLimit。
代码：
1 class CartInSupermarket { 2 public: 3 int calcmin(vector <int> a, int b) { 4 int low = 1, high = (int)1e9; 5 while(low < high) { 6 int mid = (low+high)/2; 7 if(possible(a, mid, b)) high = mid; 8 else low = mid+1; 9 } 10 return low; 11 } 12 private: 13 bool possible(vector<int> a, int timeLimit, int b) { 14 LL sum = 0; 15 for(int x: a) sum += numSplits(x, timeLimit); 16 return sum <= b; 17 } 18 int numSplits(int x, int timeLimit) { 19 int low = 0, high = x; 20 while(low < high) { 21 int mid = (low+high)/2; 22 if(possible(x, mid, timeLimit)) high = mid; 23 else low = mid + 1; 24 } 25 if(low == x) return (int)1e9 + 100; 26 return low; 27 } 28 bool possible(LL x, LL numSplits, int timeLimit) { 29 LL numParts = 1; 30 int tl = 0; 31 while(numParts <= numSplits){ 32 numSplits -= numParts; 33 numParts *= 2; 34 tl++; 35 } 36 x = max(0LL, x-(numParts-numSplits)); 37 return (tl + 1) + (x + numParts + numSplits - 1) / (numParts + numSplits) <= timeLimit; 38 } 39 };
解题关键：二分时间，并二分split次数，确定的splits次数下，最优化进行操作的过程。