4大经典算法问题
如果我们将这四种算法思想分一下类，那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治单独可以作为一类，因为它跟其他三个都不大一样。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成我们今天讲的那个多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型
贪心
就是每次取最优，最大解。局部最优，得出全局最优。它是动态规划的一种特例。
实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解，目前使用的比较少，需要针对非常特殊的数据场景。
分治算法（divide and conquer）
分治算法用四个字概括就是“分而治之”，将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解
分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧
要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。
for example
在统计方面比较多，比如统计我国人口，要知道我国人口就要先知道每个省人口，要知道省人口就要知道每个市人口，要知道市人口就要知道每个区县人口，直到村社区，然后汇总求的总人数。
回溯
回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。
常见问题，八皇后和背包的问题。
回溯的问题就是，时间复杂度为O(n^2), 指数级别，复杂度很高。一般使用递归来实现，我们会使用备忘录去记录已经计算过的情况，避免重复计算，有时候我们也可以根据实际情况进行剪枝，加快查询。
动态规划 dynamic programing 又叫 DP
我们把问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。我们记录每一个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合，来推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。
大部分动态规划能解决的问题，都可以通过回溯算法来解决，只不过回溯算法解决起来效率比较低，时间复杂度是指数级的。动态规划算法，在执行效率方面，要高很多。尽管执行效率提高了，但是动态规划的空间复杂度也提高了，所以，很多时候，我们会说，动态规划是一种空间换时间的算法思想。
什么样的问题适合用动态规划来解决呢？换句话说，动态规划能解决的问题有什么规律可循呢？
一般是用动态规划来解决最优问题，而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。
三个特征
1. 最优子结构
最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。
我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。
2. 无后效性
后效性有两层含义，含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的，且当前阶段的状态不受后面阶段的状态影响。
3. 重复子问题
不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。所以一般可以缓存一起来，避免重复计算。
动态规划DP解法思路
先通过回溯分析出是否存在重复子问题，以及是怎么发生的，然后尝试在纸上画一下，递归树，看是否能用回溯+备忘录的方式解决重复子问题。这样得到的结果与DP最后得到的结果效率差不多。
1. 状态转移表法/ 状态转移方程法
我们先画出一个状态表。状态表一般都是二维的(可能是三维/四维复杂场景)，所以你可以把它想象成二维数组。其中，每个状态包含三个变量，行、列、数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，我们将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。
比如： matrix[i][j] + Math.min(states[i][j-1], states[i-1][j]);
第一个，第二个默认值先找出来。
状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了。一般情况下，我们有两种代码实现方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。
min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))
状态转移方程是解决动态规划的关键
LeetCode
1. 最小路径和
https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/ 采用dp方程
class Solution { public int minPathSum(int[][] grid) { if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) { return 0; } int rows = grid.length, columns = grid[0].length; int[][] dp = new int[rows][columns]; dp[0][0] = grid[0][0]; for (int i = 1; i < rows; i++) { dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]; } for (int j = 1; j < columns; j++) { dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]; } for (int i = 1; i < rows; i++) { for (int j = 1; j < columns; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]; } } return dp[rows - 1][columns - 1]; } }
2. 硬币兑换
https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/solution/322-ling-qian-dui-huan-by-leetcode-solution/
coins = [1, 2, 5], amount = 11
F(11)=min(F(11−1),F(11−2),F(11−5))+1
3. 乘积最大子数组
4. 三角形最小路径和
https://leetcode-cn.com/problems/triangle/
[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ]
定义二维 dp 数组「自底向上的递推」。
a. 状态定义：
dp[i][j]表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
b. 状态转移：
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]
class Solution { public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { int n = triangle.size(); // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。 int[][] dp = new int[n + 1][n + 1]; // 从三角形的最后一行开始递推。 for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j); } } return dp[0][0]; } } 作者：sweetiee 链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/di-gui-ji-yi-hua-dp-bi-xu-miao-dong-by-sweetiee/ 来源：力扣（LeetCode） 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。