【清北学堂周末刷题班】 Day5

题目名称:大大大

  Illyasviel:"两个数乘起来会比一个数大吗？"

  Star-dust:"不知道啊，来算算吧。"

  读入一个(n),对于一个三元组((i,j,k))满足要求当且仅当(1leq i,j,kleq n)且(i imes j geq k)。

输入描述:

  一行一个数字(n)。

输出描述:

  一行一个(ans)表示满足要求的三元组的个数。

输入样例:

10

输出样例:

900

数据范围:

对于30%的数据(nleq 100)

对于60%的数据(nleq 5000)

对于100%的数据(nleq 100000)

对于30%的做法

[思路]：n≤100,O(n³)即可满足需求，考虑分别枚举i,j,k并且判断这个是否满足要求

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	long long ans;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	for(int k=1;k<=n;k++)
	if(i*j>=k)
		ans++;
	cout<<ans;
}

对于60%的做法

[思路]：n≤5000,考虑对于一组确定的i,j,满足要求的k为min(n,k)。考虑枚举i,j在O(1)的时间内求一个可行区间。在O(n²)的时间里才能解决问题。

复杂度是n/1+n/2+n/3--

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	long long ans;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	if(i*j<=n)ans+=i*j;
	else
	{
		ans+=n*(n-j+1);
		break;
	}
	cout<<ans<<endl;
}

100分做法

[思路]：n≤100000

我们来反向考虑有多少个不满足要求的三元组，即i*j<k

那么我们考虑将(i,j)插入i*j+1中，然后求一个前缀和即可。

复杂度分析:i*j>n时可直接break。

对于一个有对于一个i有

[lfloorfrac{n}{i} floor ]

个满足要求的j使得i*j<n总有效点对个数

[sum{^n_{i=1}lfloorfrac{n}{i} floor} ]

约等于

[nsum{^n_{i=1}frac{1}{i}} ]

#include<bits/stdc++.h>
#define N 120000
using namespace std;
long long a[N];
long long b[N];
long long ans=0;
long long n;
int main(){
	//freopen("1.in","r",stdin);
	//freopen("1.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n/i;j++){
			a[j*i]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=b[i-1]+a[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=b[i];
	printf("%lld
",n*n*n-ans);
}

题目名称:kkk

  Star-dust:"你会最短路吗？"

  Illyasviel:"当然！"

  Star-dust:"那你来求一求这k个点中是否存在长度%P为L的路径吧。"

  Illyasviel:"这和最短路有什么关系吗?"

  Star-dust:"不知道啊~"

输入描述:

第一行一个数字$T$代表数据组数。

对于每个数据，第一行三个数$n,m,k,P,L$表明有$n$个点，$m$条边，$k$个在图中的点。

接下来一行k个数代表关键点。

接下来$m$行每行三个数$x,y,z$表示$x$和$y$之间有一条长度为$z$的路径。

输出描述:

输出T行，当存在一条路径从起点和终点都在k个点中输出"YES",否则输出"NO"（不包含引号）。

输入样例:

1

2 3 2 3

1 2 1

2 1 1

输出样例:

YES

样例解释:

1-2-1-2

数据范围:

对于40%的范围(Tleq 500,0leq L,zleq Pleq 20,kleq nleq mleq 500,kleq 10)

对于80%的范围(Tleq 500,0leq L,zleq Pleq 20,kleq nleq mleq 500)

对于100%的范围(Tleq 500,0leq L,zleq Pleq 10^9,kleq nleq mleq 500),(P)是奇数。

100分做法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y){
/*	if(y==0){
		y++,y--;
		return 0;
	}*/
	if(x%y==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}
int solve(){
	int n,m,k,P,L;
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&P,&L);
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int x;
		scanf("%d",&x);
	}
	if(L==0)L=P;
	int A=P,B=P;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(z==0){
			z=P;
		}
		A=gcd(A,z);
	}
	B=gcd(B,L);
	if(B%A==0)printf("YES
");
	else printf("NO
");
}
int main(){
	int T;
	freopen("kkk10.in","r",stdin);
	freopen("kkk10.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--)solve();
}

题目名称:A的B次方

题目描述:

  Illyasviel:"今天我们学了(A^B)?"

  Star-dust:"我们也学了诶！"

  Star-dust:"那我来考考你吧！"

  已知A和P，求一个任意的B使得(A^B≡B^A(mod P))

输入描述

  一行输入两个整数(A)和(P)。

输出描述

  输出任意一个满足要求的数字(B)。

  (B)要为一个不大于(10^{18})的正整数。

样例输入

78 100

样例输出

16

数据范围

对于30%的数据:

(1leq A,Pleq 1000)

对于30%的数据:

(P)为质数

对于100%的数据:

(64leq Aleq 10^9)

(Pleq 10^9)

(1leq Bleq10^{18})

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long A,P;
long long phi(long long x){
	long long ans=1;
	for(long long i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0)ans*=(i-1),x/=i;
		while(x%i==0)x/=i,ans*=i;
	}
	return ans*max(x-1,1LL);
}
long long power(long long x,long long k,long long P){
	long long ans=1;
	x%=P;
	while(k){
		if(k&1)(ans*=x)%=P;
		(x*=x)%=P;
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&A,&P);
	long long B=A+P*phi(P);
	printf("%lld
",B);
	return 0;
//	scanf("%lld
",&P);
//	printf("%lld %lld
",P,phi(P));
//	return 0;
	printf("%lld %lld
",power(A,B,P),power(B,A,P));
} 

题目名称：灯塔

  Star-dust:"每个人都是灯塔，灯塔之间相隔万里，无法触碰无法沟通，唯一能做的就是用自己的光去照耀别人。"

  Illyasviel:"如果能被某个灯塔一直照耀，那一定很幸福吧。"

  Star-dust:"我能成为你的灯塔吗？"

  Illyasviel:"好啊~"

  海上有着(n)个灯塔，第(i)个灯塔在位置(i)闪耀着,灯塔的光覆盖着([i-d_i,i+d_i])的所有灯塔，对于第(k)个灯塔，他想知道有多少个(i)满足(i<k)且至少存在一个在(i)和(k)中间的灯塔(j)满足灯塔(j)同时被灯塔(i)和灯塔(k)照耀，并且(j)和(k)的距离小于等于(j)和(i)之间的距离。

输入描述：

  第一行一个整数(n)。

  接下来一行(n)个数字，第(i)个代表(d_i)。

输出描述：

  一行一个答案(ans)。

  (f_k)表示对于第(k)个灯塔有多少个灯塔满足条件。

  (ans)为n个(f_k)的异或和。

样例输入：

10
2 2 3 2 3 2 3 3 3 1

样例输出：

2

样例解释：

对应位置答案分别为0 0 1 2 3 3 3 4 4 2

数据范围:

对于20%的数据:(nleq 100)

对于20%的数据:(nleq5000)

对于20%的数据:(di)完全相同

对于20%的数据:(nleq 100000)

对于100%的数据:(nleq 3000000),(1 leq d_ileq n)

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3200000
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
using namespace std;
int n,d[N],f[N];
int ans;
vector<int>a[N];
int t[N]; 
namespace bit{
	int t[N];
	int insert(int x,int a){
		x=n-x+1;
		for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=a;
		return 0;
	}
	int query(int x){
		x=n-x+1;
		int ans=0;
		for(int i=x;i;i-=lowbit(i))ans+=t[i];
		return ans;
	}
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
};
int main(){
	//freopen("beacon.in","r",stdin);
	//freopen("beacon.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=read();
	for(int k=3;k<=n;k++){
		int i=k-2;
		int j=i+d[i];
		int l=2*j-i+1;
		l=min(l,n+1);
		a[l].push_back(j);
		bit::insert(min(j,n),1);
		for(int o=0;o<a[k].size();o++){
			bit::insert(min(a[k][o],n),-1);
		}
		f[k]=bit::query(max(k-d[k],1));
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);
//	printf("
");
//	return 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans^=f[i];
	printf("%d
",ans);
}