UVALive 7338 （树链剖分+线段树）

Problem Toll Management IV

题目大意

　　给一张n个点m条边的无向图，有边权。数据保证前n-1条边构成了一棵最小生成树。

　　要求对于每条边求出其边权上下最多浮动范围，使得最小生成树的形态不变（每次只改变一条边的权值）。

　　n<=10000,m<=1000000

解题分析

　　我们称在最小生成树上的边为实边，不在最小生成树上的边为虚边。

　　对于虚边u-->v，其权值一定可以无限增加。可以发现这条虚边不会影响u--v路径外的点所构成最小生成树的形态。假设u-->v路径上的边最大权值为w，那么当这条虚边的权值小于w时，那么这条虚边将会取代权值为w的边，成为实边。即这条虚边权值的下限为w。

　　对于实边u-->v，其权值一定可以无限减小。假设不选用这条实边，那么最小生成树将被分成两部分。那么连接这两部分的虚边将有可能替代这条实边。假设有可能的虚边中权值最小为w，那么这条实边的上限为w。

参考程序

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;

#define V 10008             
#define E 200008    
#define LL long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1 
#define clr(x,v) memset(x,v,sizeof(x));
#define bitcnt(x) __builtin_popcount(x)
#define rep(x,y,z) for (int x=y;x<=z;x++)
#define repd(x,y,z) for (int x=y;x>=z;x--)
const int mo  = 1000000007;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int INF = 2000000000;
/**************************************************************************/ 
int n,m,sum,cnt;
int lt[V],dep[V],son[V],w[V],rk[V],fa[V],top[V],size[V];
int a[E],b[E];

struct line{
    int u,v,w,nt;
    line(int u=0,int v=0,int w=0,int nt=0):u(u),v(v),w(w),nt(nt){}
}eg[E],EG[E];
void add(int u,int v,int w){
    eg[++sum]=line(u,v,w,lt[u]); lt[u]=sum;
}
void dfs_1(int u){
    dep[u]=dep[fa[u]]+1; size[u]=1; son[u]=0; 
    for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
        int v=eg[i].v;
        if (v==fa[u]) continue;
        fa[v]=u;
        dfs_1(v);
        if (size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
        size[u]+=size[v];
    }
}
void dfs_2(int u,int tp){
    top[u]=tp; w[u]=++cnt; rk[cnt]=u;
    if (son[u]) dfs_2(son[u],tp);
    for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
        int v=eg[i].v;
        if (v==fa[u]||v==son[u]) continue;
        dfs_2(v,v);
    }
}
struct Segment_Tree{
    int mx[V<<2],lazy[V<<2];
    inline void pushup(int rt){
        mx[rt]=max(mx[rt<<1],mx[rt<<1|1]);
    }
    inline void pushdown(int rt){
        if (lazy[rt]!=-INF){
            lazy[rt<<1]=max(lazy[rt<<1],lazy[rt]);
            lazy[rt<<1|1]=max(lazy[rt<<1|1],lazy[rt]);
            mx[rt<<1]=max(mx[rt<<1],lazy[rt]);
            mx[rt<<1|1]=max(mx[rt<<1|1],lazy[rt]);
            lazy[rt]=-INF;
        }
    }
    void build(int l,int r,int rt){
        mx[rt]=-INF; lazy[rt]=-INF;
        if (l==r) return;
        int m=(l+r)>>1;
        build(lson);
        build(rson);
        pushup(rt);
    }
    void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){
        if (L<=l && r<=R){
            lazy[rt]=max(val,lazy[rt]);
            mx[rt]=max(mx[rt],val);
            return;
        }
        pushdown(rt);
        int m=(l+r)>>1;
        if (L <= m) update(L,R,val,lson);
        if (m <  R) update(L,R,val,rson);
        pushup(rt);
    }
    int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
        if (L<=l && r<=R){
            return mx[rt];
        }
        pushdown(rt);
        int m=(l+r)>>1;
        int res=-INF;
        if (L <= m) res=max(res,query(L,R,lson));
        if (m <  R) res=max(res,query(L,R,rson));
        return res;
    }
}T1,T2;
int find(int x,int y){
    int res=-INF;
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res=max(res,T1.query(w[top[x]],w[x],1,n,1));
        x=fa[top[x]];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    res=max(res,T1.query(w[x]+1,w[y],1,n,1));
    return res;
}
void change(int x,int y,int val){
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        T2.update(w[top[x]],w[x],val,1,n,1);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    T2.update(w[x]+1,w[y],val,1,n,1);
}
int main(){
    int T,cas=0;
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        clr(lt,0); sum=1; cnt=0;

        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<n;i++){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w); add(v,u,w);        
            EG[i]=line(u,v,w);
        }
        for (int i=n;i<=m;i++){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);        
            EG[i]=line(u,v,w);
        }
        dfs_1(1);
        dfs_2(1,1);
        T1.build(1,n,1);
        T2.build(1,n,1);
        for (int i=1;i<n;i++){
            if (dep[EG[i].u]>dep[EG[i].v]) swap(EG[i].u,EG[i].v);
            T1.update(w[EG[i].v],w[EG[i].v],EG[i].w,1,n,1);
        }
        for (int i=n;i<=m;i++){
            int tmp=find(EG[i].u,EG[i].v);
            b[i]=tmp==-INF?-1:EG[i].w-tmp;
            change(EG[i].u,EG[i].v,-EG[i].w);
        }
        for (int i=1;i<n;i++){
            int tmp=T2.query(w[EG[i].v],w[EG[i].v],1,n,1);
            a[i]=tmp==-INF?-1:-tmp-EG[i].w;
        }
        LL res=0;
        for (int i=1;i<n;i++) res=res+1ll*i*a[i]+1ll*i*i*-1;
        for (int i=n;i<=m;i++) res=res+1ll*i*-1+1ll*i*i*b[i];
        
        printf("Case %d: %lld
",++cas,res );
    }
}