一种更强的收敛
一致收敛性是一个在级数、积分运算中经常可以用到的性质，不过高数上并非重点，本文意在整理其定义，以及用通俗的语言描述常用的重要性质，最后一节给出一致收敛函数的判别法。
同时要注意区分数列收敛，函数列一致收敛及内闭一致收敛的区别，这些是初学者容易混淆的概念，应加以注意。
首先声明函数列及函数项级数的定义：
- 设(f_1，f_2,cdots,f_n,cdots)是一列定义在同一数据集(E)的函数，称为定义在(E)上的函数列({f_n}，（n=1,2,dots）),设(x_0in E)，带入函数列可得到数列：
[f_1(x_0),f_2(x_0),cdots,f_n(x_0),dots ag{1}
]
- 对于上述函数列，称：
[sum_{n=1}^{infty}f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+cdots f_n(x)+cdots，xin E
]
为定义在(E)上的函数项级数，简记为(sum f_n(x))，称
[S_n(x)=sum_{k=1}^n f_k(x)，xin E，n=1,2,dots
]
为函数项级数的部分和函数列
若数列（1）收敛，则称函数列在(x_0)收敛，若函数列在数集(Dsub E)上每一个点都收敛，则称函数列在数集 D 上收敛。即对于(forall xin D)，存在数列({f_n})的极限值与之相对应，由此映射所对应的 D 上的函数，称为函数列的极限函数，记为：
[lim_{n oinfty}f_n(x)=f(x)，xin Dsub E
]
[for xin D,forallvarepsilon>0,exist N>0,s.t.n>N 时\ |f_n(x)-f(x)|<varepsilon ]
函数列的一致收敛性
设函数列({f_n})与函数(f)定义在同一数集(D)上，若对任给的正数(varepsilon)，总存在某一正整数 N ，使得当(n>N)时，对一切(xin D),都有：
[|f_n(x)-f(x)|<varepsilon ]则称函数列({f_n})在 D 上一致收敛于(f)，记作：
[f_n(x) ightrightarrows f(x)quad(n oinfty)，xin D ]
函数列 一致收敛的柯西准则
函数列({f_n})在数集(D)上一致收敛 (Leftrightarrow) 对(forallvarepsilon>0,exist N>0)使得当(n,m>N)时，对一切(xin D)都有：
[|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon
]
[必要性]
设
[f_n(x) ightrightarrows f(x)quad(n oinfty)，xin D ]由定义，即对(forallvarepsilon>0,exist N>0)使得当(n>N)时，对一切(xin D)都有：
[|f_n(x)-f(x)|<frac{varepsilon}2 ]于是当(n,m>N)时，由上式：
[|f_n(x)-f_m(x)|leq|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<frac{varepsilon}2+frac{varepsilon}2=varepsilon ][充分性]
若(|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon)成立
函数列 一致收敛的充要条件
内闭一致收敛性
函数项级数的一致收敛性判别法
一致收敛的柯西准则
函数项 级数一致收敛的充要条件
Weierstraß 判别法
Abel 判别法
Dirichlet 判别法
一致收敛函数列的性质
- （极限顺序无关性）设函数列({f_n})在((a,x_0)igcup(x_0,b))上一致收敛于(f(x))，且对于每一个n，(f_n(x) o a_nquad(x o x_0))，则({a_n}(n oinfty))和(f(x) (x o x_0))均存在且相等。
也就是说，在一致收敛的情况下，({f_n(x)})中的两个独立变量(x、n)再分别求极限时其求极限的顺序可以交换。
[lim_{x o x_o}lim_{n oinfty}f_n(x)=lim_{n oinfty}lim_{x o x_o}f_n(x) ]
- （可积性）设函数列({f_n})在([a,b])上一致收敛，且每一项都连续，则
[int_a^blim_{n oinfty}f_n(x)dx=lim_{n oinfty}int_a^bf_n(x)dx
]
在一致收敛的情况下，极限运算与积分运算的顺序可以交换。
- （可微性）设函数列({f_n})在([a,b])上有定义，若(x_0in[a,b])为({f_n})的收敛点，({f_n})的每一项在([a,b])上都有连续的导数，且({f_n'})在([a,b])上一致收敛，则：
[frac{d}{dx}{(lim_{n oinfty}f_n(x))}=lim_{n oinfty}frac{d}{dx}f_n(x)\
f'(x)=lim_{n oinfty}f_n'(x)
]
- （连续性）若函数项级数(sum u_n(x))在区间([a,b])上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在([a,b])上也连续
[sum(lim_{x o x_0}u_n(x))=lim_{x o x_0}(sum u_n(x))
]
- （逐项求积）若函数项级数(sum u_n(x))在区间([a,b])上一致收敛，且每一项都连续，则：
[sumint_a^bu_n(x)dx=int_a^bsum u_n(x)dx
]
- （逐项求导）若函数项级数(sum u_n(x))在区间([a,b])上每一项都有连续的导函数，(x_0in[a,b])为(sum u_n(x))的收敛点，且(sum u'_n(x))在([a,b])上一致收敛，那么：
[sum (frac{d}{dx}u_n(x))=frac{d}{dx}(sum u_n(x))
]