关于绝对值函数可导性的总结
(|f(x)|)
- 若 (f(x_0)=0,\,f'(x_0)=0)时，(|f(x)|) 在 (x=x_0) 可导；
- 若 (f(x_0) eq 0) 时，(|f(x)|) 在 (x=x_0) 必可导；
(phi(x)=f(x)cdot|g(x)|)
- 若(f(x))于(x=x_0)可导，(|g(x)|)于(x_0)连续但是不可导，那么(phi(x)=f(x)cdot|g(x)|)于(x=x_0)可导的充分必要条件为：(f(x_0)=0),而且(phi'(x)=f'(x)cdot|g(x)|)，并且称(f(x))为(|g(x)|)于(x=x_0)的“磨光函数”。
- 由以上易推得：若(f(x))于(x=x_0)连续，那么(phi(x)=f(x)cdot|x-x_0|)可导的充要条件为：(f(x_0)=0).
(^{[1]}) 赵红牛.含绝对值函数的可导性讨论[J].高等数学研究,2004,(5):40-50.