复变函数2
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留数
奇点和零点
- 奇点：函数不解析的点，(f(z))展开式((z-z_0))负幂项个数；
| 在(z_0)中 | 个数 |
|---|---|
| 可去奇点 | 0 |
| m级极点 eg:((z-z_0)^m) | m |
| 本性奇点 | (infin) |
- 零点：函数等于零的点。
[m级零点：left{
egin{array}{rcl}
f^{(m)}(z_0)
e0&\
f^{(n)}(z_0)=0&，n<m
end{array}
ight.
]
此时，(z_0)是(frac1{f(z)})的m级极点；
- 若(z_0)是(f(z))的m级零点，(g(z))的n级零点，则(z_0)是(frac{g(z)}{f(z)})的 m-n 级极点；
若函数(f(z),g(z))分别是以(z=a)为 m、n级极点，则：
设(f(z)=frac{f_1(z)}{(x-a)^m},f_1(a) e0)，同理(g(z));
[f(z)g(z)=frac{f_1(z)g_1(z)}{(x-a)^{m+n}} ](a)为 m+n 级极点。
留数
若(f(z)=sum_{n=-infin}^{+infin}c_n(z-z_0)^n)，则 Res[(f(z)，z_0)]=(c_{-1})；
- 函数 (f(z)) 在 (z_0) 处的留数记为：(c_{-1}).
例：
[Resleft[frac{sin{z}}{z^2}，0
ight]\
=Resleft[frac{1}{z^2}(cdots+z-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}+cdots)，0
ight]\
=Resleft[(cdots+frac1z-frac{z}{3!}+frac{z^3}{5!}+cdots)，0
ight]=1
]
求留数的规则（ I ） 一级极点：
- 若 (z_0) 为 (f(z)) 的一级极点，则：
Res[(f(z),z_0)]=(lim_{z o z_0}(z-z_0)f(z)).
求留数的规则（ II ） m级极点:
- 若 (z_0) 为 (f(z)) 的 m 级极点，则：
Res[(f(z),z_0)]=(frac{1}{(m-1)!}lim_{z o z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}{(z-z_0)^mf(z)}).
求留数的规则（ * ）:
[oint_cf(z)dz=2pi isum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]
]
利用留数计算积分：(oint_{|z|=2}frac{5z-2}{z(z-1)^2}dz).（(在|z|=2内有两个极点：0，1；))
Res[f(z),0]= -2 ，Res[f(z),1]= 2;
[J=2pi isum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]=2pi i(-2+2)=0 ]
求留数的规则（ III ）分母的一级零点:
若(f(z)=frac{P(z)}{Q(z)})，(z_0) 是 (Q(z)) 的一级零点，则：
Res[ f(z) , (z_0) ] = (frac{P(z_0)}{Q'(z_0)});
求留数的规则（ IV ）:
[Res[f(z),infin]=-Res[f(frac1z)cdotfrac1{z^2},0]
]
求留数的规则（ ** ）:
[sum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]=0
]