气体动理论提纲

引论

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• 热学

  研究物质热性质和热现象规律及应用的学科

• 热力学系统

  由大量微观粒子（分子、原子等）所组成的宏观物体

• 外界

  系统以外的物体

• 宏观理论：热力学

• 微观理论：统计物理学（包含气体动理论）

第9章 气体动理论

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• 气体动理论：研究气体热现象的微观理论

• 阿伏伽德罗常量：

  [N_A=6.022 imes 10^{23}mol^{-1} ]

$9.1 状态参量 平衡态 准静止过程

9.1.1 气体状态参量

状态参量

气体的状态参量：体积、压强、温度三个物理量

• 气体微观量：每个分子的质量、速度、动量、能量……
• 气体宏观量：描写气体宏观性质的状态参量

1.体积

• 气体分子活动所能达到的空间
• 符号：V 单位：m³(立方米)

2.压强

• 气体作用于容器壁单位面积上指向器壁的垂直作用力
• 符号：p 单位：Pa(帕斯卡)

3.温度

• 表征系统热平衡的宏观性质的物理量

  热平衡：假设两个系统通过导热壁相互接触后达到一个共同的平衡态，称这两个系统处于热平衡

  热力学第零定律：在不受外界影响下，如果两个系统分别与处于确定状态的第三个系统达到热平衡，则这两个系统彼此也将处于热平衡

• 热力学温标（开尔文温标） 符号：T 单位：K(开尔文)

• 摄氏温标 符号：t 单位 : ℃(摄氏度)

  温标：温度的数值表示法

• 换算关系：
  [t/℃=T/K-273.15 ]

9.1.2 平衡态

平衡态与非平衡态

• 平衡态：这种在不受外界影响的条件下，无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间后不再发生变化的状态
• 非平衡态：不满足上述条件的状态

热力学中的平衡态实质上是一种热平衡态

9.1.3 准静态过程

热力学过程

热力学系统受外界影响发生质量或能量交换时状态变化的过程

准静态过程

在过程中的任意时刻（或过程中的每一步）系统的状态都无限接近于平衡态的过程

非静态过程：实际状态变化过程是连续的，中间任一时刻没有确定的状态值的过程

过程曲线

准静态过程变化时可以用相空间的一条曲线表示

$9.2 理想气体的物态方程

理想气体

严格遵守波意耳定律的气体

波意耳定律

一定质量的气体，在一定温度下，其压强p和体积V的乘积是一个常量

[pV=C ]

推广：

[pVvarpropto T ]

标准温度定点

水的三相点温度规定为

[T_3=273.16K ]

理想气体物态方程

[pV=frac{m}{M}RT\qquad qquad quad【 （摩尔气体常量）R=frac{p_3V_{3m}}{T_3}qquadqquadqquad \V_{3m}表示气体在水三相点温度下的摩尔体积】 ]

$9.3 麦克斯韦速率分布

9.3.1 麦克斯韦速率分布率

速率分布函数

速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

[f(v)=frac{dN}{N_0dv} ]

麦克斯韦速率分布函数

只适用于平衡态理想气体

[f(v)=4pileft(frac{m_0}{2pi kT} ight)^frac{3}{2}e^{-frac{mu v^2}{2kT}}v^2 ]

玻尔兹曼常量

[k=frac{R}{N_A}=1.38 imes 10^{-23}J·K^{-1} ]

归一化条件

[int^infty_0f(v)dv=1 ]

9.3.2 三个统计速率

[特点：quad都与sqrt{T}成正比，与sqrt{M}成反比，他们之间的关系为v_p<ar{v}<sqrt{overline{v^2}} ]

1.最概然速率

讨论分子速率分布时使用

[frac{d}{dv}f(v)=0\得qquad v_p=sqrt{frac{2kT}{m_0}}=sqrt{frac{2RT}{M}}approx1.41sqrt{frac{RT}{M}} ]

2.平均速率

讨论分子碰撞频率和平均自由程时使用

[ar{v}=int^infty_0vf(v)dv\得qquad ar{v}=sqrt{frac{8kT}{pi m_0}}=sqrt{frac{8RT}{pi M}}approx1.60sqrt{frac{RT}{M}} ]

3.方均根速率

讨论分子平均动能时使用

[overline{v^2}=int^infty_0v^2f(v)dv\得qquad sqrt{overline{v^2}}=sqrt{frac{3kT}{m_0}}=sqrt{frac{3RT}{M}}approx1.73sqrt{frac{RT}{M}} ]

$9.4 玻尔兹曼分布

9.4.1 玻尔兹曼分布率

玻尔兹曼分布率（玻尔兹曼按能量分布定律）

[dN=n_0left(frac{m_0}{2pi kT} ight)^{frac{3}{2}}e^{-frac{varepsilon_k+varepsilon_p}{kT}}dv_xdv_ydv_zdxdydz ]

分子数按势能的分布率

分布在区间 x~x+dx;y~y+dy;z~z+dz 内单位体积的分子数

[n=n_0e^{-frac{varepsilon_p}{kT}} ]

9.4.2 重力场中微粒按高度的分布

等温气压公式

[p=p_0e^{-frac{m_0gz}{kT}}=p_0e^{-frac{Mgz}{RT}}\【高度:quad z=frac{RT}{Mg}lnfrac{p_0}{p}】 ]

$9.5 理想气体的压强

9.5.1 理想气体的微观模型

假设的微观模型

1. 分子本身线度与分子间的距离相比较，可以忽略不计
2. 除了分子碰撞一瞬外，可以认为分子间及分子与容器壁之间均无相互作用
3. 气体分子在运动过程中遵守经典力学规律，假设碰撞是完全弹性的

9.5.2 平衡状态气体的统计假设

分子混沌性假设

1. 忽略重力时，平衡态气体分子均匀分布于容器中
2. 在平衡态时，沿各方向运动的分子数目是相等的

9.5.3 理想气体压强公式及统计意义

理想气体压强公式

[p=frac{2}{3}nleft(frac{1}{2}m_0overline{v^2} ight)=frac{2}{3}noverline{varepsilon}_{kt} ]

气体分子的平均平动动能

[overline{varepsilon}_{kt}=frac{1}{2}m_0overline{v^2} ]

$9.6 温度的微观本质 理想气体物态方程的推证

9.6.1 温度的微观解释

温度定义

大量分子热运动的平动动能的统计平均值：

[overline{varepsilon}_{kt}=frac{3}{2}kT ]

温度：是大量分子热运动的平动动能的统计平均值的量度

$9.7 能量均分定理 理想气体的内能

9.7.1 自由度

自由度数定义

确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目

刚性分子的自由度数

分子种类	平动自由度 t	转动自由度 r	总自由度 i
单原子分子	3	0	3
刚性双原子分子	3	2	5
刚性多原子分子	3	3	6

9.7.2 能量均分定理

自由度均分定理

在温度为T的平衡态下，物质分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于1/2*kT。如果分子的自由度数为i，有分子平均动能为

[overline{varepsilon}_{k}=frac{i}{2}kT ]

9.7.3 理想气体的内能

内能

• 气体内能：系统中气体分子的动能和分子间相互作用势能的总和。

• 刚性分子气体内能：即所有分子的动能之和——

  [E=frac{m}{M}frac{i}{2}RT ]

• 理想气体的另一个定义：内能只是温度的单值函数的气体。

$9.8 真实气体

9.8.1 真实气体的等温曲线

三个阶段

1. 反比曲线
2. 临界汽液共存态——水平线（须有一定温度要求）
3. 液态变化曲线

9.8.2 范德瓦尔斯方程

模型修正

1. 体积修正：来自分子自身体积

   [V_mRightarrow V_m-b\b=4N_A·frac{4}{3}pi left(frac{d}{2} ight)^3 hickapprox10^{-6}m^3 ]

2. 压强修正：来自内压强

   [p=frac{RT}{V_m}Rightarrow p=frac{RT}{V_m-b}-p_i\p_i=frac{a}{V^2_m}quad【a决定于气体性质】 ]

范德瓦尔斯方程

• 1mol真实气体的方程：

  [left(p+frac{a}{V^2_m} ight)(V_m-b)=RT ]

• 质量为m的真实气体的方程：

  [left(p+frac{m^2}{M^2}frac{a}{V^2_m} ight)(V_m-frac{m^2}{M^2}b)=frac{m^2}{M^2}RT ]

模型缺点

模型低温不符合，高温符合较好

$9.9 气体分子的平均自由程和平均碰撞频率

平均碰撞频率

定义：每个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数

公式：

[egin{equation} egin{aligned} overline z&=frac{nsigma overline uDelta t}{Delta t}=nsigma overline u=sqrt{2}nsigma overline v\&=sqrt{2}pi d^2overline vn\【其中sigma&叫做分子的碰撞截面，sigma=pi d^2】 end{aligned} end{equation} ]

平均自由程

定义：分子在连续两次碰撞之间所通过的自由路程的平均值

公式：

[egin{equation} egin{aligned} overlinelambda&=frac{overline vDelta t}{overline zDelta t}=frac{overline v}{overline z}\&=frac{1}{sqrt{2}pi d^2n}quad【一般情况】\&=frac{kT}{sqrt{2}pi d^2p}quad【理想气体情况】 end{aligned} end{equation} ]

$9.10 气体输运过程

9.10.1 黏性现象（内摩擦）

速度梯度

各层流流速不同，（速度大会产生湍流）

[{left(frac{du}{dz} ight)}_{z_0} ]

牛顿黏性定律

[dF=eta{left(frac{du}{dz} ight)}_{z_0}dS ]

粘度

又称内摩擦系数，单位:Pa·s

[eta=frac{1}{3} ho overline voverlinelambda ]

9.10.2 热传导

温度梯度

[{left(frac{dT}{dz} ight)}_{z_0} ]

傅里叶定律

[dQ=-kappa{left(frac{dT}{dz} ight)}_{z_0}dS·dt ]

热导率

又称导热系数，单位: W/(m·K)

[kappa=frac{1}{3}overline voverlinelambda c_V ho ]

9.10.3 扩散现象

密度梯度

[{left(frac{d ho}{dz} ight)}_{z_0} ]

斐克定律

[dm=-D{left(frac{d ho}{dz} ight)}_{z_0}dS·dt ]

扩散系数

[eta=frac{1}{3}overline voverlinelambda ]

9.10.4 低压下的热传导

因为低压下气体可以视为理想气体，所以有

[kappa=frac{1}{3}sqrt{frac{4km_0}{pi}}c_V frac{sqrt{T}}{pi d^2} ]

应用：杜瓦瓶