洛谷 P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

输出格式：

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

首先要知道一个公式：gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)];

首先， 斐波那契数列相邻项的 gcd=1。 假设不为 1 的话， 可以推出之前所有相邻项 gcd
均不为 1，但 gcd(f(1),f(2))=gcd(1,1)=1，矛盾，所以相邻项 gcd=1。

令 f[n]=a,f[n+1]=b

f[n+2]=a+b

f[n+3]=a+2b

f[n+4]=2a+3b

……

f[m]=f[m-n-1]*a+f[m-n]*b

由欧几里得定理得：gcd（a，b）=gcd（a，b%a）

所以gcd（f[n],f[m]）

=gcd（f[n],f[m]%f[n]）

=gcd（f[n],f[m-n]*b）

=gcd（a,f[m-n]*b）

因为gcd（a，b）=1

所以上式

=gcd（a，f[m-n]）

=gcd（f[n],f[m-n]）

递归，所以上式

=gcd（f[n],f[m%n]）

所以gcd（f[n],f[m]）=f[gcd（n，m）]

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#include <cstdio>
typedef long long LL;
#define mod 100000000

int n,m;
int gcd(int m,int n) {return !n?m:gcd(n,m%n);}
struct node
{
    LL a[5][5];
    inline node operator*(node b)const
    {
        node c;
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
              {
                c.a[i][j]=0;
                  for(int k=1;k<=2;++k)
                       c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j],c.a[i][j]%=mod;
            }
        return c;
    }
}base,ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int p=gcd(n,m);
    if(p==1||p==2) {printf("1
");return 0;}
    base.a[1][1]=base.a[1][2]=base.a[2][1]=1;
    ans.a[1][1]=ans.a[1][2]=1;
    p-=2;
    for(;p;p>>=1,base=base*base)
        if(p&1) ans=ans*base;
    printf("%lld
",ans.a[1][1]);
    return 0;
}