[BZOJ3505][Cqoi2014]数三角形

3505: [Cqoi2014]数三角形

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76


数据范围
1<=m,n<=1000

 

显然格点为$left(n+1 ight)*left(m+1 ight)$个

所以先$incleft(n ight),incleft(m ight)$

考虑算出选三个点总数再减去共线情况

总数$C_{n*m}^3$

横竖共线$nC_m^3+mC_n^3$

斜着的可以考虑枚举每两个点，然后计算两点连线上的格点

考虑对于$left(0,0 ight)-left(x_0,y_0 ight)$的一条线段上

所有点满足方程$y_0x-x_0y=0$，显然解有$gcd(x_0,y_0)+1$个

排除掉两个端点还有$gcd(x_0,y_0)-1$个

发现其实只要线段的$(dx,dy)$一样那么就是等价的而不用在意位置，所以乘一下就好了

#include <iostream>
typedef long long ll;
inline ll gcd(ll a, ll b){
    ll t;
    if(a > b){
        t = a;
        a = b;
        b = t;
    }
    while(a){
        t = a;
        a = b % a;
        b = t;
    }
    return b;
}
ll n, m, ans;
int main(){
    std::cin >> n >> m;
    n++;
    m++;
    ans = n * m * (n * m - 1) * (n * m - 2) - n * m * (m - 1) * (m - 2) - m * n * (n - 1) * (n - 2);
    ans /= 6;
    ll t;
    for(ll i = 1; i < n; i++)
        for(ll j = 1; j < m; j++){
            t = gcd(i, j);
            ans -= 2LL * (t - 1) * (n - i) * (m - j);
        }
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}