2066. 七十和十七
★★★ 输入文件:
xvii.in
输出文件:xvii.out
简单对比
时间限制:1 s 内存限制:256 MB【题目描述】
七十君最近爱上了排序算法,于是Ta让十七君给Ta讲冒泡排序。
十七君给七十君讲完了冒泡排序以后,七十君回家苦思冥想,又创造了一种名
为七十排序的算法。下面是这个算法排序一个排列的过程:
首先从左到右扫描每个相邻数对。如果这两个数是逆序的,则将第二个数(也
就是小的数)放在整个排列的开头,其他数位置不变,并把计数器加一。如果
没有逆序的相邻数对了,就说明已经排好序了,算法终止。
七十君认为计数器的值反映了这个算法的运行时间。但十七君觉得七十君发明
的这个算法会很慢,所以他请你帮忙算算,对于所有长度为n的排列P,
[E(n)=frac{sum f(P)}{n!}]
的值,这里f(P)表示排列P运行算法结束时计数器的值。
【输入格式】
一行一个整数n。
【输出格式】
如果E(n)=a/b,求c使得
bc 三 a (mod 10^9+7)
并输出,其中0≤c<10^9+7,如果e不存在输出-1。
【样例输入】
4【样例输出】
250000005【提示】
对于排列4 1 3 2,算法结束时计数器的值为5。
4 1 3 2,4和1形成逆序,将1放到排列最前方。
1 4 3 2,4和3形成逆序,将3放到排列最前方。
3 1 4 2,3和1形成逆序,将1放到排列最前方。
1 3 4 2,4和2形成逆序,将2放到排列最前方。
2 1 3 4,2和1形成逆序,将1放到排列最前方。
1 2 3 4,现在排列已经排序完毕。
E(4)=3.25。
数据范围与约定
对于20%的数据,n≤8。
对于40%的数据,n≤30。
对于60%的数据,n≤200。
对于1OO%的数据,n≤10^5。
题解
首先我们可以发现, 将 $n$ 个数排序的过程可以转化为按方案排序 $n-1$ 个数后将最后一个数按方案再排进去. 对于长度为 $n$ 的全排列, 若第 $n$ 个数 $a_n=n$ , 则不会引起计数器变动(因为它在前 $n-1$ 个排好序后就已经在最后了), 否则会引起计数器增加 $2^{a_n-1}$ . 枚举最后加入的数 $a_n$ 即可在 $O(n^2)$ 时间复杂度内解决. 最终表达式为:
[ans=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{i-1}2^{j-1}]
注意到第二部分求和为等差数列形式, 我们可以通过等差数列求和公式进行计算. 于是上式可以化简为:
[ans=sum_{i=1}^nfrac{2^{i-1}-1}{i}]
参考代码
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 #include <iostream> 5 #include <algorithm> 6 7 const int MOD=1e9+7; 8 9 int Pow(int,int,int); 10 11 int main(){ 12 int n; 13 scanf("%d",&n); 14 int ans=0; 15 for(int i=1;i<=n;i++){ 16 ans=(ans+1ll*(Pow(2,i-1,MOD)-1+MOD)%MOD*Pow(i,MOD-2,MOD)%MOD)%MOD; 17 } 18 printf("%d ",ans); 19 return 0; 20 } 21 22 int Pow(int a,int n,int p){ 23 int ans=1; 24 while(n>0){ 25 if((n&1)!=0){ 26 ans=1ll*ans*a%p; 27 } 28 a=1ll*a*a%p; 29 n>>=1; 30 } 31 return ans; 32 }