[BZOJ 3813]奇数国

3813: 奇数国

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Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。

 

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

 

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
013
115
013
117
013
023

Sample Output

18
24
36
6

explanation
初始化每个国家存款都为3;

1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

Source

2015年国家集训队测试

题解

首先我们明确一下这题是在求 $varphi$...

因为题面的方程只有在两数互质的时候才成立 ( $ExGCD$ 的时候不就是这么搞的么233)

然后我们发现题目保证每个数的质因子只包含最小的 $60$ 个质数, 所以可以考虑使用公式求 $varphi(n)$ , 由于查询是求某段区间的积的 $varphi$ 值, 所以我们可以将每个数都包含的质因子信息压位到一个 long long 里, 然后用线段树维护区间乘积包含的质因子与区间的乘积. 合并时对于质因子信息直接按位取 $ ext{OR}$ 即可.

以及由于素数个数不大, 所以可以预处理出所有的质数以及它们对应的 $frac{p-1}{p}$ 的值(或者直接打表233)来方便最终求值.

然后就是一个比较坑的地方: $int$ 左移次数超过 $31$ 就会 UB , 所以压位的时候注意用 $1ll$ 来左移.

参考代码

GitHub

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

const int MOD=19961993;
const int MAXN=1e5+10;
const int PR_CNT=60;

int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};
int inv[]={9980997,13307996,7984798,11406854,14517814,18426456,9393880,5253157,16490343,8260136,2575742,18343454,3895024,17640832,1698894,3013132,7443456,4581442,9236147,18275065,6562848,2779519,7936697,4037258,6379607,19566707,13566404,4104336,3662752,13602421,16661192,1219054,13259427,9047523,3751248,8196316,14621843,1714528,12192356,11884887,8029406,13455046,17976246,13342473,14084859,15548287,10217514,9846724,5364237,3486812,1627803,14950615,1076789,12406658,19340609,8652728,7791857,7955334,1657495,8808852};

struct Node{
    int l;
    int r;
    Node* lch;
    Node* rch;
    long long tag;
    long long prod;
    Node(int,int);
    void Maintain();
    void Modify(int,long long);
    std::pair<long long,long long> Query(int,int);
};

int main(){
    int n,a,b,type;
    Node* N=new Node(1,100000);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&type,&a,&b);
        if(type==0){
            std::pair<long long,long long> x=N->Query(a,b);
            for(int i=0;i<PR_CNT;i++){
                if((x.second&(1ll<<i))!=0){
                    (x.first*=inv[i])%=MOD;
                }
            }
            printf("%lld
",x.first);
        }
        else{
            N->Modify(a,b);
        }
    }
    return 0;
}

long long Calc(long long x){
    long long ans=0;
    for(int i=0;i<PR_CNT;i++){
        if(x%prime[i]==0){
            ans|=(1ll<<i);
        }
    }
    return ans;
}

std::pair<long long,long long> Node::Query(int l,int r){
    if(l<=this->l&&this->r<=r){
        return std::make_pair(this->prod,this->tag);
    }
    else{
        long long p=1;
        long long t=0;
        std::pair<long long,long long> tmp;
        if(l<=this->lch->r){
            tmp=this->lch->Query(l,r);
            (p*=tmp.first)%=MOD;
            t|=tmp.second;
        }
        if(this->rch->l<=r){
            tmp=this->rch->Query(l,r);
            (p*=tmp.first)%=MOD;
            t|=tmp.second;
        }
        return std::make_pair(p,t);
    }
}

void Node::Modify(int x,long long d){
    if(this->l==this->r){
        this->prod=d;
        this->tag=Calc(d);
    }
    else{
        if(x<=this->lch->r)
            this->lch->Modify(x,d);
        else
            this->rch->Modify(x,d);
        this->Maintain();
    }
}

inline void Node::Maintain(){
    this->tag=this->lch->tag|this->rch->tag;
    this->prod=this->lch->prod*this->rch->prod%MOD;
}

Node::Node(int l,int r){
    this->l=l;
    this->r=r;
    if(l==r){
        this->prod=3;
        this->tag=(1<<1);
    }
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        this->lch=new Node(l,mid);
        this->rch=new Node(mid+1,r);
        this->Maintain();
    }
}