BZOJ3505 [Cqoi2014]数三角形

明显容斥。总答案减掉共线答案。共横线和共竖线简单。难点在于共斜线计数。

考虑暴力。枚举每个点对连线间整点数量，这些点可以作为共线的第三点，种数$gcd(x_1-x_2,y_1-y_2)-1$。

可以证明这是不重不漏的（枚举且仅枚举到了每个点对作为共线两端的情况）。

复杂度过高。考虑优化。

发现可以固定一个端点在$(0,0)$，只枚举另一个端点，这时中间点个数用$gcd(i,j)-1$算出。

然后发现这个$(0,0)$点可以平移到满足$x leq n-i+1,y leq m-j+1$的任意$(x,y)$上，种数都是同样的计算结果。

这样就简化了一个端点的枚举。

然后就处理了共斜线种类。注意乘2即可得到对称结果（斜率小于0的）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
ull n,m,s,ans;
inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout);
    read(n),read(m);++n,++m;s=n*m;
    ans=s*(s-1)*(s-2)/6-n*m*(m-1)*(m-2)/6-m*n*(n-1)*(n-2)/6;
    for(register int i=1;i<n;++i)
        for(register int j=1;j<m;++j)
            ans-=(gcd(i,j)-1)*1ull*(m-j)*(n-i)*2;
    printf("%llu",ans);
    return 0;
}