luoguP1516 青蛙的约会|数论|同余|扩展欧几里得算法

目录

• 青蛙的约会|数论|同余|扩展欧几里得算法
  • Problem
  • 分析
  • Code

青蛙的约会|数论|同余|扩展欧几里得算法

为什么这种乐(S)观(B)的青蛙都能网恋，还成功了（我：？？？？？？？SB青蛙去死8 ）

为什么最近一直在做青蛙的题？（我怕是要无限-1s制了？？？？）

Problem

分析

（先搞懂扩展欧几里得算法8）

根据题意可得：

青蛙A：

初始位置x,每次跳m

青蛙B：

初始位置y,每次跳n

总长度为L

求相遇时间（如果有解）t

即换成数学表达式：

[x+mcdot t equiv y+ncdot t left(mod L ight) ]

根据分析扩展欧几里得算法的步骤：

[L|left(x+mcdot t ight)-left(y+ncdot t ight) ]

=>

[L|left(x-y ight)+left(m-n ight)t ]

=>

[left(x-y ight)+left(m-n ight)t=kL,kin Z^{*} ]

令

[n-m=a,x-y=b(a>0,b>0) ]

注意：

如果a<0：

需要把a和b调正：

[a=-a,b=-b ]

则

[acdot t+kcdot L=b ]

方程有解：

当且仅当

[gcdleft(a,k ight)|b ]

如果有解：

则

[acdot t+Lcdot k=gcdleft(a,k ight) ]

根据扩展欧拉定理得一个解t0

之后对t0进行操作得到t的一个解：

[t=t_0cdot frac{b}{gcdleft(a,k ight)} ]

再进行调正：

[t=left(t\%frac{L}{d}+frac{L}{d} ight)\%frac{L}{d} ]

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long 
using namespace std;
ll x,y,m,n,l,t,k;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
	return d;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	ll a=n-m,b=x-y;
	if(a<0) a=-a,b=-b;//修正为正数 
	ll d=exgcd(a,l,t,k);
	if(b%d==0){
		t=t*b/d;//获得一个解
		t=(t%(l/d)+(l/d))%(l/d);//修正负数 
		printf("%lld",t);
	}else printf("Impossible");
	return 0;
}