【题解搬运】蓝桥杯2012年第4题题解

从我原来的博客上搬运。原先blog作废。

题目

脱氧核糖核酸即常说的DNA，是一类带有遗传信息的生物大分子。它由4种主要的脱氧核苷酸(dAMP、dGMP、dCMT和dTMP)通过磷酸二酯键连接而成。这4种核苷酸可以分别记为：A、G、C、T。

DNA携带的遗传信息可以用形如：AGGTCGACTCCA…. 的串来表示。DNA在转录复制的过程中可能会发生随机的偏差，这才最终造就了生物的多样性。

为了简化问题，我们假设，DNA在复制的时候可能出现的偏差是（理论上，对每个碱基被复制时，都可能出现偏差）：

漏掉某个脱氧核苷酸。例如把 AGGT 复制成为：AGT

错码，例如把 AGGT 复制成了：AGCT

重码，例如把 AGGT 复制成了：AAGGT

如果某DNA串a，最少要经过 n 次出错，才能变为DNA串b，则称这两个DNA串的距离为 n。

例如：AGGTCATATTCC 与 CGGTCATATTC 的距离为 2

你的任务是：编写程序，找到两个DNA串的距离。

题解

此题原型即最短编辑距离，用dp解决。
不妨设两串分别为$str_a,str_b$，长度分别为$m,n$，设$dp[i][j]$为$a$串的长度为$i$的前缀字串和$b$串的长度为$j$的前缀子串，那么原题即求$dp[m-1][n-1]$。
下面是转移方程：
$$
dp[i][j]=left{
egin{aligned}
dp[i-1][j-1] & , & a[i]=b[j] \
min{dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1}& , & a[i] e b[j]
end{aligned}
ight.
$$

理解问题应当出现在第二个式子上。我们以b串为母串，那么一、二、三子式分别对应重复、删除、修改这三种情况。

特别地，边界条件：$dp[i][0]=i,dp[0][j]=j$。

为何呢？因为从i长度变为空串总要i次操作。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define f1(x,y) for(int x=1;x<=y;++x)
#define f0(x,y) for(int x=0;x!=y;++x)
#define bf1(x,y,z) for(int x=y;x>=z;--x)
#define bf0(x,y,z) for(int x=y;x!=z;--x)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int dp[10005][10005];
int main()
{
    int n; cin>>n;
    while(n--)
    {
        string a,b;
        cin>>a>>b;
        int alen=a.length(),
            blen=b.length();
        memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
        for(int i=0;i!=alen;++i)
            dp[i][0]=i;
        for(int i=0;i!=blen;++i)
            dp[0][i]=i;
        dp[0][0]=0;
        for(int i=0;i!=alen;++i)
            for(int j=0;j!=blen;++j)
            {
                if(a[i]==b[j])
                {
                    if(i-1>=0&&j-1>=0)
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }
                else
                {
                    if(i-1>=0)
                    {
                        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+1);
                        if(j-1>=0)
                        {
                            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+1);
                            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
                        }
                    }
                    else
                    {
                        if(j-1>=0) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+1);
                    }
                }
            }
        cout<<dp[alen-1][blen-1]<<endl;
    }
    return 0;
}