[CodeForces - 1225E]Rock Is Push 【dp】【前缀和】
标签：题解 codeforces题解 dp 前缀和
题目描述
Time limit
2000 ms
Memory limit
524288 kB
Source
Technocup 2020 - Elimination Round 2
Tags
binary search dp *2200
Site
https://codeforces.com/problemset/problem/1225/E
题面
Example
Input1
1 1
.
Output1
1
Input2
2 3
...
..R
Output2
0
Input3
4 4
...R
.RR.
.RR.
R...
Output3
4
题目大意
给定(n, m)，和一张长宽分别为(n,m)的地图。(cdot)代表可以通过，(R)代表岩石，无法通过。一个人从左上((1,1))出发，想要到达右下((n, m))，他每步只能向下或向右走一格。其间他可以推动与他相邻的一连串岩石一格，根据他从上一步到达这格的方向，但不能将岩石推出地图。问一共有多少条不同的走法？
例如，
(n = 4, m = 4)，地图为
有如下四条路径，用(PushD)代表向下推岩石，用(PushR)代表向右推岩石：
- ((1,1) o (2,1) o(3,1) o PushR o(3,2) o(4,2) o(4,3) o(4,4))
- ((1,1) o(2,1) o PushR o(2,2) o PushD o(3,2) o PushR o(3,3) o (4,3) o (4,4))
- ((1,1) o(1,2) o PushD o(2,2) o PushR o(2,3) o PushD o(3,3) o (3,4) o (4,4))
- ((1,1) o(1,2) o (1,3) o PushD o(2,3) o (2,4) o (3,4) o (4,4))
解析
-
询问从((1,1))走到((n, m))的路径条数，我们也可以反过考虑从((n, m))走到((1,1))的路径条数。
-
我们令(dpR[i][j])表示从((i,j))的右边一格即从((i, j + 1))到达((i,j))的路径条数，令(dpD[i][j])表示从((i,j))的下边一格即从((i + 1, j))到达((i,j))的路径条数。令(kD， kR)分别为从((i,j))到此列最下端和此行最右端的岩石总数。因为岩石可以向右推至地图边缘，所以我们易得$$dpD[i][j] = sum_{t=i + 1}^{n - kD}dpR[t][j].$$将此列中行坐标在区间([i+1， n-kD])的全部能从右边到达的路径条数都加入(dpD[i][j])中。
计算(dpD)示意图
同理，我们可得$$dpR[i][j] = sum_{t=j + 1}^{m - kR}dpD[i][t].$$ -
为了得到每点的(kR,kD)，我们需要分别预处理一下每行每列从右至左，从下至上的岩石数量的前缀和。
((i,j))以右（包括((i,j))）的全部岩石数量：(numR[i][j] = numR[i][j + 1] + (s[i][j] == \,'R'))；
((i,j))以下（包括((i,j))）的全部岩石数量：(numD[i][j] = numD[i + 1][j] + (s[i][j] == \,'R'))。
-
看到如上的累加公式，我们很容易想到要用前缀和来处理。否则时间复杂度会升到立方。
我们令$$ sumD[i][j] = sumD[i][j + 1] + dpD[i][j], sumR[i][j] = sumR[i + 1][j] + dpR[i][j].$$
则原公式可优化为$$egin{cases}dpD[n][m] = dpR[n][m] = 1, dpD[i][j] = sum_{t=i + 1}^{n - numD[i][j]}dpR[t][j] = sumR[i + 1][j] - sumR[n - numD[i][j] + 1][j], dpR[i][j]= sum_{t=j + 1}^{m - numR[i][j]}dpD[i][t] = sumD[i][j + 1] - sumD[i][m - numR[i][j] + 1] end{cases}.$$ -
最后答案即为(dpD[1][1] + dpR[1][1])，注意随时取模。
-
存在两种情况需要特判，详见代码。
以第三个样例为例试举两例，
通过代码
/*
Status
Accepted
Time
108ms
Memory
102804kB
Length
1284
Lang
GNU G++11 5.1.0
Submitted
2019-12-23 18:13:00
RemoteRunId
67463663
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7; //随时取模.
const int MAXN = 2e3 + 50;
char s[MAXN][MAXN];
int numD[MAXN][MAXN], numR[MAXN][MAXN], sumD[MAXN][MAXN], sumR[MAXN][MAXN], dpD[MAXN][MAXN], dpR[MAXN][MAXN];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
scanf("%s", s[i] + 1);
if(s[1][1] == 'R' || s[n][m] == 'R'){ //第一种特判情况，起点或终点被岩石占上，则没有路径可以到达.
printf("0");
return 0;
}
if(n == 1 && m == 1){ //第二种特判情况，地图大小为1*1，则直接输出1.
printf("1");
return 0;
}
for(int i = n; i >= 1; i --){ //从右下开始预处理岩石总数前缀和.
for(int j = m; j >= 1; j --){
numD[i][j] = numD[i + 1][j] + (s[i][j] == 'R');
numR[i][j] = numR[i][j + 1] + (s[i][j] == 'R');
}
}
sumD[n][m] = sumR[n][m] = dpD[n][m] = dpR[n][m] = 1;
for(int i = n; i >= 1; i --){ //从右下开始状态转移.
for(int j = m; j >= 1; j --){
if(i == n && j == m) continue;
dpD[i][j] = (sumR[i + 1][j] - sumR[n - numD[i + 1][j] + 1][j]) % MOD;
dpR[i][j] = (sumD[i][j + 1] - sumD[i][m - numR[i][j + 1] + 1]) % MOD;
sumD[i][j] = (sumD[i][j + 1] + dpD[i][j]) % MOD;
sumR[i][j] = (sumR[i + 1][j] + dpR[i][j]) % MOD;
}
}
printf("%d", (dpR[1][1] + dpD[1][1] + 2ll * MOD) % MOD); //得出答案.
return 0;
}