剑指offer---约瑟夫环问题

参考文献：

换个角度举例解决约瑟夫环

约瑟夫环——公式法（递推公式）

在刷leetcode的剑指offer时，做到这道关于约瑟夫环的题，首先自己是一脸懵逼的。这是啥玩意，看不懂啊。后来i仔细思考之后，想到用队列来解这道题，根据队列先进先出的特性这样就能循环解决这个问题。嗯，完美。说干就干。。。

但是出现了一个尴尬的问题----现在我还不太会用队列。于是只能看看大佬的题解了，里面有用链表的有用队列的，看的我脑瓜子嗡嗡的，WTF.。但是，突然看到一个数学解法。一看，哎呦，不错哦。简单明了。但是，又但是了。因为确实看了很多遍，直到写这篇博客的时候还是有点迷糊。所以就打算记录一下这些点，以后再遇见能够好好研究研究。如果各位有什么好的见解以及本文存在的不足之处。欢迎各位指正批评。话不多说，看看关于大佬的思路。

主要是看了这两篇文章：首先是这一篇：

约瑟夫环——公式法（递推公式）

这篇我觉得讲的很好，至少我这个小白算是看懂了，

文中首先提到了什么是约瑟夫问题：然后给出了两种解决方案：

• 普通解法：运用链表。
• 公式法：

公式法：

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：

 用不同数字表示每个人：

　　　　　　　　　　　　1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人。排成一排假设每报道3的人被杀掉。

• 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
• 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
• 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
• ……
• 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
• 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
• 最后的胜利者是编号为7的人。

下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）

 图中绿色部分表示的是这些数组成的数的下标：

上边得到的公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

• f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
• ……
• f(11,3)=6
  

上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面讲解怎么推到这个公式。

**问题1：**假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
**答：**其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

**问题2：**假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
**答：**这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

关于越界的解释如图中所示；图中讲的就是如何消除数组越界的问题。相信大家都看得懂：

因此我们可以推出递推公式f(8,3) = [f(7, 3) + 3] %8。
进行推广泛化，即f(n,m) = [f(n-1, m) + m]%m。

**注：**理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

文中最后说求出的结果是数组的下标，最终编号还要加1.但是我用C语言编写的结果不用加1直接返回结果也可以。

 

int lastRemaining(int n, int m){
    int pos=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        pos=(pos+m)%i;
    }
    return pos;
}