奶牛抗议
描述
约翰家的N 头奶牛正在排队游行抗议。一些奶牛情绪激动，约翰测算下来，排在第i 位的奶牛的理智度为Ai，数字
可正可负。约翰希望奶牛在抗议时保持理性，为此，他打算将这条队伍分割成几个小组，每个抗议小组的理智度之
和必须大于或等于零。奶牛的队伍已经固定了前后顺序，所以不能交换它们的位置，所以分在一个小组里的奶牛必
须是连续位置的。除此之外，分组多少组，每组分多少奶牛，都没有限制。约翰想知道有多少种分组的方案，由于
答案可能很大，只要输出答案除以1000000009 的余数即可。
输入
第一行：单个整数N，1 ≤ N ≤ 100000
第二行到第N + 1 行：第i + 1 行有一个整数Ai，10^5 ≤ Ai ≤ 10^5
输出
单个整数：表示分组方案数模1000000009 的余数
样例
输入
4 2 3 -3 1
输出
4
提示
说明
解释:如果分两组，可以把前三头分在一组，或把后三头分在一组；
如果分三组，可以把中间两头分在一组，第一和最后一头奶牛自成一组；最后一种分法是把四头奶牛分在同一组里。
思路：
在做这道题之前，我们不妨先来想想这道题暴力怎么做。于是我们很容易得到一个简单的暴力转移方程：
令f[i]表示到i的方案数，有f[i]=∑f[j],k=j+1∑i a[k]≥0
写成前缀和的形式便是f[i]=∑f[j],sum[i]-sum[j]≥0，于是
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 #define mod 1000000009 4 using namespace std; 5 ll n,sum[100005],ans,f[100005],a[100005]; 6 int main() 7 { 8 scanf("%lld",&n); 9 for(ll i=1;i<=n;i++) 10 { 11 scanf("%lld",&a[i]); 12 sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 13 } 14 f[0]=1; 15 for(ll i=1;i<=n;i++) 16 for(ll j=0;j<i;j++) 17 if(sum[i]-sum[j]>=0) 18 f[i]=(f[i]+f[j])%mod; 19 printf("%lld ",f[n]); 20 return 0; 21 }
可是这是n^2，怎么优化？
我们再来仔细看看这个代码，注意到这一句话：sum[i]-sum[j]>=0，我们将其转化一下是不是可以变成sum[i]>=sum[j]呢？
这时候我们发现相当于求在i前面并且前缀和小于sum[i]的所有f[i]和，这就可以用一个树状数组优化了，在树状数组维护下标为sum[i]，f[i]的前缀和。对于每个f[i]即为树状数组
上sum[i]的前缀和。
这里需要注意的是前缀和可能为负，而树状数组下标不能为负，所以我们要离散化一下。于是，上代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 #define mod 1000000009 4 #define lowbit(x) x&(-x) 5 using namespace std; 6 ll sum[1000001],n,f[1000001],b[1000001],num,a[1000001]; 7 struct data { 8 ll v,id; 9 } t[1000001]; 10 bool cmp(data x,data y) { 11 if(x.v==y.v) 12 return x.id<y.id; 13 else 14 return x.v<y.v; 15 } 16 void add(ll x,ll val) { 17 while(x<=n+1) { 18 sum[x]+=val; 19 x+=lowbit(x); 20 } 21 } 22 ll ask(ll x) { 23 ll ans=0; 24 while(x) { 25 ans+=sum[x]; 26 x-=lowbit(x); 27 } 28 return ans; 29 } 30 int main() { 31 scanf("%lld",&n); 32 for(ll i=1; i<=n; i++) { 33 scanf("%lld",&a[i]); 34 f[i+1]=f[i]+a[i]; 35 } 36 f[1]=0; 37 for(ll i=1; i<=n+1; i++) { 38 t[i].v=f[i]; 39 t[i].id=i; 40 } 41 sort(t+1,t+n+2,cmp); 42 for(ll i=1; i<=n+1; i++) 43 b[t[i].id]=i;//离散化 44 add(b[1],1); 45 for(ll i=2; i<=n+1; i++) { 46 num=ask(b[i])%mod; 47 add(b[i],num); 48 } 49 printf("%lld ",num%mod); 50 return 0; 51 }
值得注意的是，我在这里把前0个数前缀和为零的情况也插入到了树状数组，所以注意一下小细节。
如果有什么不对的地方欢迎各位巨佬指正。
撒花~~~